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絕對值的解釋

實數a的絕對值記作｜a｜，它是指：當a≥0時，｜a｜＝a；當a＜0時，｜a｜＝-a。它在數軸上表示與a對應的點到原點的距離。複數的絕對值亦稱“複數的模”。複數z＝a+bi的絕對值｜z｜＝a2+b2。在複數平面上，它表示點z(a，b)到原點的距離。

詞語分解

• 絕的解釋 絕 （絶） é 斷：絕種。絕緣。絕嗣。絕情。絕迹。斷絕。杜絕。滅絕。空前絕後。 盡，窮盡：絕命。絕望。絕境。絕棋。氣絕。 極，極端的：絕妙。絕密。絕壁。絕無僅有。 獨特的，少有的，沒有人能趕上的：絕色
• 對值的解釋 猶配偶。 唐 李賀 《唐兒歌》：“東家嬌娘求對值，濃笑書空作‘唐’字。” 王琦 注：“對值，猶匹偶也。”

專業解析

絕對值是數學基礎概念之一，指一個數在數軸上所對應的點到原點的距離。《現代漢語詞典》将其定義為“一個實數在不計正負號時的值”，例如，3和-3的絕對值均為3。這一概念最早由德國數學家卡爾·魏爾施特拉斯于1841年明确提出，後成為數學分析的重要工具。

從數學表達式來看，實數( a )的絕對值記作( |a| )，其定義為： $$ |a| = begin{cases} a & text{當 } a geq 0 -a & text{當 } a < 0 end{cases} $$ 幾何意義表現為數軸上的點到原點的非負距離，這一性質在解決方程、不等式及幾何問題時具有關鍵作用。

在應用領域中，絕對值廣泛用于物理學（如矢量模長）、工程學（誤差計算）和經濟學（價格波動分析）。《數學辭海》指出，絕對值不僅是實數運算的基礎，還延伸至複數範疇，複數( z = a + bi )的絕對值定義為( |z| = sqrt{a + b} )。

漢語語境下，“絕對值”一詞也被借用于日常表達，強調事物的客觀性或不可變更性，例如“真相具有絕對值屬性”。此類用法被《現代漢語規範詞典》收錄，列為數學術語的泛化現象。

網絡擴展解釋

絕對值是一個數學概念，表示一個數在數軸上到原點的距離，無論該數是正數還是負數。以下是詳細解釋：

1. 定義與符號
   絕對值用兩個豎線符號“| |”表示。例如，|-5|的絕對值是5，|4|的絕對值是4。絕對值的結果總是非負數（≥0），因為距離不能為負。

2. 幾何意義
   絕對值反映了數在數軸上的位置與原點的“實際距離”。例如，-3和3與原點的距離都是3個單位，因此它們的絕對值均為3。

3. 數學性質

   • 非負性：對任何實數a，|a| ≥ 0，且隻有當a=0時，|a|=0。
   • 對稱性：|a| = |-a|。
   • 運算性質：|a·b| = |a|·|b|，|a/b| = |a|/|b|（b≠0）。
   • 三角不等式：|a + b| ≤ |a| + |b|，用于處理加法後的絕對值範圍。

4. 應用場景

   • 解方程：例如|x| = 5的解是x=5或x=-5。
   • 計算誤差：絕對值用于表示誤差的實際大小，如測量誤差為±2時，絕對值誤差是2。
   • 幾何問題：如計算兩點間的距離時，用絕對值簡化正負號的影響。

示例

• |0| = 0
• |7.5| = 7.5
• |-π| = π
• 若|x| = 3，則x可能是3或-3。

絕對值通過“去符號化”将數的實際大小抽象出來，是數學中簡化問題、分析範圍的重要工具。

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