微積分的重要概念。德國數學家黎曼首先給予嚴格表述，故又稱“黎曼積分”。設函數f(x)在［a,b］上有界，把區間［a,b］任意分成n個小區間［x０,x１］,［x１,x２］,…［xn-1,xn］,各個小區間的長度為δxi=xi-xi-1(i=1,2,…，n)。在每個小區間上任取一點ξi作和s=σni=1f(ξi)δxi,記λ=max｛δx1,δx2,…,δxn｝，若不論對［a,b］怎樣分法，也不論在小區間［xi-1,xi］上點ξi怎樣取法，隻要當λ→0時，和s總趨于确定的極限i，則稱極限i為函數f(x)在區間［a,b］上的定積分，記作∫baf(x)dx,其中f(x)稱為被積函數，x稱為積分變量，a、b分别稱為積分下限和上限，［a,b］稱為積分區間。
定積分是數學分析中的核心概念之一，指對函數在特定區間上的積分結果進行精确計算的運算方法。根據《現代漢語詞典（第7版）》的定義，定積分表示“函數在某一區間内與坐标軸圍成的幾何圖形面積的代數和”（來源：《現代漢語詞典》）。其數學表達式為： $$ int{a}^{b} f(x) , dx = lim{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x_i $$ 其中$a$和$b$為積分上下限，$lambda$表示最大小區間長度（來源：《高等數學》同濟大學第七版）。
從幾何角度解釋，定積分可理解為曲線$y=f(x)$在區間$[a,b]$内與$x$軸圍成的曲邊梯形面積（來源：《數學分析教程》）。在物理應用中，定積分被用于計算變力做功、非均勻物體質量等問題，例如計算物體從位置$a$到$b$所受變力$F(x)$的總功可表示為$int_{a}^{b} F(x) , dx$（來源：《物理學與工程數學》）。
根據微積分基本定理，定積分與不定積分存在本質聯繫：若$F(x)$是$f(x)$的原函數，則$int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b)-F(a)$，這一關系構成了積分學的重要理論基礎（來源：《微積分學教程》）。在工程計算領域，定積分被廣泛應用于結構力學、電磁場強度分析等場景，例如通過積分計算梁的彎曲變形量（來源：《工程數學手冊》）。
定積分是微積分中的核心概念之一，用于描述函數在某一區間上的累積效果。以下是詳細解釋：
定積分記作： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$ 其嚴格定義為黎曼和的極限：将區間 ([a,b]) 分割為 (n) 個子區間，取每個子區間上某點的函數值 (f(x_i^*)) 乘以區間寬度 (Delta x_i)，當最大子區間寬度趨近于零時，所有子區間貢獻的極限即為定積分值。
定積分表示曲線 (y=f(x)) 與 x 軸在區間 ([a,b]) 圍成的有向面積：
通過牛頓-萊布尼茨公式實現： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) $$ 其中 (F(x)) 是 (f(x)) 的原函數（滿足 (F'(x)=f(x))）。
函數 (f(x)) 在 ([a,b]) 上可積的充分條件包括：
計算 (int_0 x dx)：
定積分将無限分割與求複雜過程轉化為通過原函數計算的高效方法，是連接微分與積分的關鍵橋梁。
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