微积分的重要概念。德国数学家黎曼首先给予严格表述，故又称“黎曼积分”。设函数f(x)在［a,b］上有界，把区间［a,b］任意分成n个小区间［x０,x１］,［x１,x２］,…［xn-1,xn］,各个小区间的长度为δxi=xi-xi-1(i=1,2,…，n)。在每个小区间上任取一点ξi作和s=σni=1f(ξi)δxi,记λ=max｛δx1,δx2,…,δxn｝，若不论对［a,b］怎样分法，也不论在小区间［xi-1,xi］上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，和s总趋于确定的极限i，则称极限i为函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，记作∫baf(x)dx,其中f(x)称为被积函数，x称为积分变量，a、b分别称为积分下限和上限，［a,b］称为积分区间。
定积分是数学分析中的核心概念之一，指对函数在特定区间上的积分结果进行精确计算的运算方法。根据《现代汉语词典（第7版）》的定义，定积分表示“函数在某一区间内与坐标轴围成的几何图形面积的代数和”（来源：《现代汉语词典》）。其数学表达式为： $$ int{a}^{b} f(x) , dx = lim{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x_i $$ 其中$a$和$b$为积分上下限，$lambda$表示最大小区间长度（来源：《高等数学》同济大学第七版）。
从几何角度解释，定积分可理解为曲线$y=f(x)$在区间$[a,b]$内与$x$轴围成的曲边梯形面积（来源：《数学分析教程》）。在物理应用中，定积分被用于计算变力做功、非均匀物体质量等问题，例如计算物体从位置$a$到$b$所受变力$F(x)$的总功可表示为$int_{a}^{b} F(x) , dx$（来源：《物理学与工程数学》）。
根据微积分基本定理，定积分与不定积分存在本质联系：若$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b)-F(a)$，这一关系构成了积分学的重要理论基础（来源：《微积分学教程》）。在工程计算领域，定积分被广泛应用于结构力学、电磁场强度分析等场景，例如通过积分计算梁的弯曲变形量（来源：《工程数学手册》）。
定积分是微积分中的核心概念之一，用于描述函数在某一区间上的累积效果。以下是详细解释：
定积分记作： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$ 其严格定义为黎曼和的极限：将区间 ([a,b]) 分割为 (n) 个子区间，取每个子区间上某点的函数值 (f(x_i^*)) 乘以区间宽度 (Delta x_i)，当最大子区间宽度趋近于零时，所有子区间贡献的极限即为定积分值。
定积分表示曲线 (y=f(x)) 与 x 轴在区间 ([a,b]) 围成的有向面积：
通过牛顿-莱布尼茨公式实现： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) $$ 其中 (F(x)) 是 (f(x)) 的原函数（满足 (F'(x)=f(x))）。
函数 (f(x)) 在 ([a,b]) 上可积的充分条件包括：
计算 (int_0 x dx)：
定积分将无限分割与求复杂过程转化为通过原函数计算的高效方法，是连接微分与积分的关键桥梁。
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