二項式定理的意思、二項式定理的詳細解釋

二項式定理的解釋

[binomial theorem] 按照公式 (x+y) n = x n +c n 1 + x n-1 y +c 2 n x n-2 +…c 1 n xy n-1 +y n ,二項式可取任意次的數學定理

詳細解釋

關于二項式的n(n為正整數)次幂的定理。即下列公式：(x+a)n＝xn+c1naxn-1+c2na2xn-2+…+cknakxn-k+…+an。其中ckn＝n!k!(n-k)!，等號右邊的式子稱為(x+a)n的二項展開式，cknakxn-k稱為二項展開式的通項，常用tk+1表示，也即通項為展開式的第k+1項。

詞語分解

定理的解釋通過理論證明能用來作為原則或規律的命題或公式詳細解釋.确定的法則或道理。《韓非子·解老》：“凡理者，方圓、短長、麤靡、堅脆之分也。故理定而後可得道也。故定理有存亡，有死生，有盛衰。夫物之一存一亡，乍

網絡擴展解釋

二項式定理是代數學中的重要定理，用于展開形如 ((a + b)^n) 的二項式的幂次表達式。以下是詳細解釋：

定理公式

二項式定理的數學表達式為： $$ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} $$ 其中：

(n) 為非負整數（定理也適用于實數，但需用無窮級數表示）。
(binom{n}{k}) 是組合數（二項式系數），表示從 (n) 個元素中選 (k) 個的方式數，計算公式為 (frac{n!}{k!(n-k)!})。

關鍵點解析

展開式的結構
展開後共有 (n+1) 項，每項的形式為 (a^{n-k} b^k)，且指數之和恒為 (n)。例如：
- ((a + b) = a + 2ab + b)
- ((a + b) = a + 3ab + 3ab + b)
組合數的意義
組合數 (binom{n}{k}) 決定了每項的系數，其對稱性滿足 (binom{n}{k} = binom{n}{n-k})，對應展開式中對稱項的系數相等。
帕斯卡三角形
組合數可以直觀地用帕斯卡三角形（楊輝三角）表示。例如：
```
1(n=0)
1 1(n=1)
1 2 1(n=2)
1 3 3 1(n=3)
```

應用場景

多項式展開：快速計算二項式的高次幂。
概率論：用于二項分布的概率計算。
近似計算：當 (n) 為實數時，可展開為無窮級數近似複雜表達式。

示例

展開 ((x + 2))： $$ begin{aligned} (x + 2) &= binom{4}{0}x + binom{4}{1}x cdot 2 + binom{4}{2}x cdot 2 + binom{4}{3}x cdot 2 + binom{4}{4}2 &= x + 8x + 24x + 32x + 16. end{aligned} $$

二項式定理通過組合數學與代數結合，揭示了多項式展開的規律性，是數學和科學中廣泛使用的基礎工具。

網絡擴展解釋二

二項式定理的意思

二項式定理是數學中的一個重要定理，描述了如何展開一個二項式的幂。它是代數中的基本公式之一，具有廣泛的應用。

拆分部首和筆畫

二項式定理的部首拆分為兄旁和钅，其中兄旁表示兄弟，钅表示金屬。它的總筆畫數為15畫。

來源和繁體

二項式定理最早出現在中國古代的數學著作《孫子算經》中，約成書于公元3世紀。在繁體字中，二項式定理的寫法為「二項式定理」。

古時候漢字寫法

在古代，漢字的寫法經曆了很多變化。二項式定理在不同的曆史時期有不同的寫法。如在西漢時期，它的寫法為「二項之法」。在明清時期，它的寫法為「二項之理」。

例句

二項式定理的數學表達式為(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示從n個元素中選擇k個元素的組合數。

組詞、近義詞和反義詞

組詞：二項式、定理。

近義詞：二次展開公式。

反義詞：一項式。

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