二项式定理的意思、二项式定理的详细解释

二项式定理的解释

[binomial theorem] 按照公式 (x+y) n = x n +c n 1 + x n-1 y +c 2 n x n-2 +…c 1 n xy n-1 +y n ,二项式可取任意次的数学定理

详细解释

关于二项式的n(n为正整数)次幂的定理。即下列公式：(x+a)n＝xn+c1naxn-1+c2na2xn-2+…+cknakxn-k+…+an。其中ckn＝n!k!(n-k)!，等号右边的式子称为(x+a)n的二项展开式，cknakxn-k称为二项展开式的通项，常用tk+1表示，也即通项为展开式的第k+1项。

词语分解

定理的解释通过理论证明能用来作为原则或规律的命题或公式详细解释.确定的法则或道理。《韩非子·解老》：“凡理者，方圆、短长、麤靡、坚脆之分也。故理定而后可得道也。故定理有存亡，有死生，有盛衰。夫物之一存一亡，乍

网络扩展解释

二项式定理是代数学中的重要定理，用于展开形如 ((a + b)^n) 的二项式的幂次表达式。以下是详细解释：

定理公式

二项式定理的数学表达式为： $$ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} $$ 其中：

(n) 为非负整数（定理也适用于实数，但需用无穷级数表示）。
(binom{n}{k}) 是组合数（二项式系数），表示从 (n) 个元素中选 (k) 个的方式数，计算公式为 (frac{n!}{k!(n-k)!})。

关键点解析

展开式的结构
展开后共有 (n+1) 项，每项的形式为 (a^{n-k} b^k)，且指数之和恒为 (n)。例如：
- ((a + b) = a + 2ab + b)
- ((a + b) = a + 3ab + 3ab + b)
组合数的意义
组合数 (binom{n}{k}) 决定了每项的系数，其对称性满足 (binom{n}{k} = binom{n}{n-k})，对应展开式中对称项的系数相等。
帕斯卡三角形
组合数可以直观地用帕斯卡三角形（杨辉三角）表示。例如：
```
1(n=0)
1 1(n=1)
1 2 1(n=2)
1 3 3 1(n=3)
```

应用场景

多项式展开：快速计算二项式的高次幂。
概率论：用于二项分布的概率计算。
近似计算：当 (n) 为实数时，可展开为无穷级数近似复杂表达式。

示例

展开 ((x + 2))： $$ begin{aligned} (x + 2) &= binom{4}{0}x + binom{4}{1}x cdot 2 + binom{4}{2}x cdot 2 + binom{4}{3}x cdot 2 + binom{4}{4}2 &= x + 8x + 24x + 32x + 16. end{aligned} $$

二项式定理通过组合数学与代数结合，揭示了多项式展开的规律性，是数学和科学中广泛使用的基础工具。

网络扩展解释二

二项式定理的意思

二项式定理是数学中的一个重要定理，描述了如何展开一个二项式的幂。它是代数中的基本公式之一，具有广泛的应用。

拆分部首和笔画

二项式定理的部首拆分为兄旁和钅，其中兄旁表示兄弟，钅表示金属。它的总笔画数为15画。

来源和繁体

二项式定理最早出现在中国古代的数学著作《孙子算经》中，约成书于公元3世纪。在繁体字中，二项式定理的写法为「二項式定理」。

古时候汉字写法

在古代，汉字的写法经历了很多变化。二项式定理在不同的历史时期有不同的写法。如在西汉时期，它的写法为「二項之法」。在明清时期，它的写法为「二项之理」。

例句

二项式定理的数学表达式为(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

组词、近义词和反义词

组词：二项式、定理。

近义词：二次展开公式。

反义词：一项式。

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