
[binomial theorem] 按照公式 (x+y) n = x n +c n 1 + x n-1 y +c 2 n x n-2 +…c 1 n xy n-1 +y n ,二项式可取任意次的数学定理
关于二项式的n(n为正整数)次幂的定理。即下列公式:(x+a)n=xn+c1naxn-1+c2na2xn-2+…+cknakxn-k+…+an。其中ckn=n!k!(n-k)!,等号右边的式子称为(x+a)n的二项展开式,cknakxn-k称为二项展开式的通项,常用tk+1表示,也即通项为展开式的第k+1项。
二项式定理是代数学中的重要定理,用于展开形如 ((a + b)^n) 的二项式的幂次表达式。以下是详细解释:
二项式定理的数学表达式为: $$ (a + b)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k} a^{n-k} b^{k} $$ 其中:
展开式的结构
展开后共有 (n+1) 项,每项的形式为 (a^{n-k} b^k),且指数之和恒为 (n)。例如:
组合数的意义
组合数 (binom{n}{k}) 决定了每项的系数,其对称性满足 (binom{n}{k} = binom{n}{n-k}),对应展开式中对称项的系数相等。
帕斯卡三角形
组合数可以直观地用帕斯卡三角形(杨辉三角)表示。例如:
1(n=0)
1 1(n=1)
1 2 1(n=2)
1 3 3 1(n=3)
展开 ((x + 2)): $$ begin{aligned} (x + 2) &= binom{4}{0}x + binom{4}{1}x cdot 2 + binom{4}{2}x cdot 2 + binom{4}{3}x cdot 2 + binom{4}{4}2 &= x + 8x + 24x + 32x + 16. end{aligned} $$
二项式定理通过组合数学与代数结合,揭示了多项式展开的规律性,是数学和科学中广泛使用的基础工具。
二项式定理是数学中的一个重要定理,描述了如何展开一个二项式的幂。它是代数中的基本公式之一,具有广泛的应用。
二项式定理的部首拆分为兄旁和钅,其中兄旁表示兄弟,钅表示金属。它的总笔画数为15画。
二项式定理最早出现在中国古代的数学著作《孙子算经》中,约成书于公元3世纪。在繁体字中,二项式定理的写法为「二項式定理」。
在古代,汉字的写法经历了很多变化。二项式定理在不同的历史时期有不同的写法。如在西汉时期,它的写法为「二項之法」。在明清时期,它的写法为「二项之理」。
二项式定理的数学表达式为(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)ab^(n-1) + C(n,n)b^n,其中C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
组词:二项式、定理。
近义词:二次展开公式。
反义词:一项式。
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