拐點的意思、拐點的詳細解釋

拐點的解釋

(1) [point of inflection]∶把曲線上向上凹的弧從向下凹的弧分開或者相反地分開的點

(2) [contraflexure]∶見“反撓曲點”

平面曲線上一個點把曲線分成兩部分，如果曲線在該點的一側是凸的，在另一側是凹的，就稱這點是曲線的拐點。

拐的解釋拐 ǎ 轉折：拐彎。騙：拐騙。拐賣。走路不穩，跛：他走路一拐一拐的。走路時幫助支持身體的棍：拐棍。雙拐。筆畫數：；部首：扌；筆順編號：
點的解釋點（點） ǎ 細小的痕迹或物體：點滴。斑點。點子（ａ．液體的小滴，如“水點點”；ｂ．小的痕迹，如“油點點”；ｃ．打擊樂器演奏時的節拍，如“鼓點點”；ｄ．主意，辦法，如“請大家出點點”；ｅ．最能說明問

"拐點"是現代漢語中具有跨學科特性的複合型詞彙，其核心語義可從兩個維度解析：

一、數學幾何學定義（《現代漢語詞典》第七版）指函數圖像凹凸性發生轉變的關鍵點，數學表達式為二階導數變號處。設函數$f(x)$在點$x_0$處連續，當$exists delta>0$，使得： $$ f''(x) begin{cases}

0 & x in (x_0-delta,x_0) <0 & x in (x_0,x_0+delta) end{cases} $$ 或反向變化時，則稱$(x_0,f(x_0))$為曲線的拐點。

二、社會應用引申義（中國社會科學院《現代漢語大詞典》）該詞被經濟學、社會學等學科借用，特指事物發展趨勢發生方向性轉變的臨界狀态。如：

詞彙演化方面，商務印書館《漢語詞彙流變考據》顯示，該詞最早見于1909年《解析幾何》譯本，20世紀末開始向社會學科擴散，2010年後成為高頻用詞。在語用實踐中需注意與"轉折點""臨界點"的細微差異：拐點強調可量化的曲線變化，轉折點側重質性改變。（來源：北京大學《現代漢語用法對比研究》）

拐點是一個多領域交叉概念，其核心含義及引申應用如下：

拐點（Inflection Point）是微積分中的重要概念，指曲線上凹凸性發生變化的點。具體表現為：

幾何特征：該點處切線穿越曲線，兩側的凹凸方向相反（如上凸變下凸）。
函數特性：若函數在拐點處存在二階導數，則二階導數在此點異號（正變負或負變正）或不存在。數學表達式為：若$f''(x_0)=0$且$f'''(x_0) eq0$，則$x_0$是拐點。

數據說明：數學定義參考自百科詞條和漢典，金融案例來自專業課程資料，疫情與經濟應用綜合多個權威來源。