滿秩的意思、滿秩的詳細解釋

滿秩的解釋

(1).全俸。《漢書·平帝紀》：“賜天下民爵一級，吏在位二百石以上，一切滿秩如真。”

(2).秩滿。官吏任期結束。 宋 葉適 《著作正字二劉公墓志銘》：“比滿秩，災疫猶未已，皆泣曰：‘司戶去，吾何所得衣食！’”

詞語分解

• 滿的解釋 滿 （滿） ǎ 全部充實，沒有餘地：滿足。滿意。充滿。飽滿。美滿。滿腔熱血。琳琅滿目。滿載而歸。 到了一定的限度：滿員。滿月。不滿周歲。 驕傲，不虛心：自滿。志得意滿。 十分，全：滿世界（到處）。滿堂
• 秩的解釋 秩 ì 有條理，不混亂的情況：秩序。 古代官吏的俸祿：“官人益秩，庶人益祿”。 古代官職級别：委之常秩。貶秩三等。 十年：七秩壽辰。 筆畫數：； 部首：禾； 筆順編號：

專業解析

在漢語詞典角度，“滿秩”一詞具有雙重含義，需結合具體語境理解：

一、現代術語（數學領域）

指矩陣中線性無關的行或列數量達到最大可能值。若一個矩陣的行秩或列秩等于其行數或列數中的較小值，則稱其為“滿秩矩陣”。例如：

• 方陣滿秩：行列式不為零，矩陣可逆。
• 非方陣滿秩：行滿秩或列滿秩，分别對應行向量或列向量線性無關。

  此定義源于線性代數，是現代數學的核心概念之一。

二、古漢語釋義（曆史用法）

“滿秩”在古籍中多指官吏任期屆滿或履職圓滿：

1. 任期結束

   《漢書·尹翁歸傳》載：“滿秩去官”，意為官員任期結束離任。

2. 履職完整

   宋代洪邁《容齋隨筆》提及“滿秩”指官員完成規定任期職責，含盡職盡責之意。

   此用法強調時間或職責的完整性，與數學術語的“滿秩”無直接關聯。

三、字形與詞源佐證

• “秩”的本義：

  《說文解字》釋“秩”為“積也”，本指谷物堆積，引申為次序、俸祿（如“秩祿”）。官吏任期稱“秩”源于俸祿按年發放的制度。

• “滿”的引申：

  “滿”表充盈、達到限度（如《莊子》“注焉而不滿”），與“秩”結合後強化“完整無缺”的語義。

四、權威辭書參考

1. 《漢語大詞典》（羅竹風主編）：

   收錄“滿秩”為官吏任期屆滿義項，引清代顧炎武《日知錄》考據。

2. 《古代漢語詞典》（商務印書館）：

   明确标注“滿秩”屬官制術語，釋義為“官吏任期結束”。

3. 《數學名詞》（科學出版社）：

   定義“滿秩矩陣”（full-rank matrix）為“秩等于行數或列數的矩陣”。

結論

“滿秩”屬古今異義詞：

• 現代數學語境：描述矩陣的線性無關性（如：$m times n$ 矩陣的秩為 $min(m,n)$ 時滿秩）。
• 古代官制語境：指官吏任期或職責的圓滿完成。

  二者需嚴格區分，避免混淆。

網絡擴展解釋

“滿秩”是線性代數中的核心概念，指矩陣或線性變換的秩達到了其維度允許的最大值。具體可分為以下三種情況：

1. 方陣的滿秩 當n階方陣的秩等于n時，稱為滿秩矩陣。此時矩陣具有以下特性：

• 行列式不為零（$det(A) eq 0$）
• 存在唯一逆矩陣（$A^{-1}$存在）
• 對應的線性變換是雙射
• 行/列向量組均線性無關

2. 非方陣的滿秩 對于m×n矩陣：

• 行滿秩：當秩r = m（行數）時，行向量線性無關
• 列滿秩：當秩r = n（列數）時，列向量線性無關 例如3×2矩陣若秩為2，則是列滿秩；2×3矩陣若秩為2，則是行滿秩。

3. 應用意義

• 方程組求解：滿秩方陣對應方程組有唯一解
• 數據科學：滿秩矩陣表示無冗餘特征
• 幾何變換：滿秩線性變換保持空間維度不變
• 控制理論：滿秩系統矩陣保證能控/能觀性

數學表達式示例： 對于矩陣$A in mathbb{R}^{m×n}$，若滿足： $$ text{rank}(A) = min(m,n) $$ 則稱A為滿秩矩陣。特别地，當m=n時，滿秩等價于可逆： $$ exists A^{-1} iff det(A) eq 0 $$

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