重根的意思、重根的詳細解釋
重根的解釋
[multiple root] 若 (x-c) n 是多項式f(x)的因子,其中n>1,則稱f(x)有重根c
詞語分解
- 重的解釋 重 ò 分（坣 ）量較大，與“輕”相對：重負。重荷。重量（刵 ）。重力。舉重。負重。 程度深：重色。重病。重望。重創。 價格高：重價收買。 數量多：重金聘請。眉毛重。重兵。 主要，要緊：重鎮。重點。重
- 根的解釋 根 ē 高等植物莖幹下部長在土裡的部分：根植。根莖。根瘤。根毛。根雕。須根。塊根。紮根。葉落歸根。 物體的基部和其他東西連着的部分：根底。根基。牆根兒。 事物的本源：根源。根由。根本。知根知底。 徹底
專業解析
重根是數學術語，指代多項式方程中重複出現的根。若一個根出現的次數等于其對應的因式在多項式中的最高幂次，則該根稱為重根，其重複次數稱為重數。以下從定義、判定和應用三方面詳解：
一、定義與數學表述
設多項式方程 ( P(x) = 0 ) 的根為 ( r )，若 ( (x - r)^k )（( k geq 2 )）是 ( P(x) ) 的因式，而 ( (x - r)^{k+1} ) 不是，則稱 ( r ) 為方程的k 重根。例如：
- 方程 ( (x-2) = 0 ) 中，( x=2 ) 是二重根（重數 ( k=2 )）。
- 方程 ( (x+1) = 0 ) 中，( x=-1 ) 是三重根（重數 ( k=3 )）。
二、判定條件
重根的存在性與多項式及其導數的關系密切相關：
- 判别式為零
對于二次方程 ( ax + bx + c = 0 )，當判别式 ( Delta = b - 4ac = 0 ) 時，方程有重根 ( x = -frac{b}{2a} )。
- 多項式與導數有公因式
若 ( r ) 是 ( P(x) = 0 ) 的重根，則 ( r ) 也是其導數 ( P'(x) = 0 ) 的根。例如 ( P(x) = x - 2x + 1 ) 的導數 ( P'(x) = 2x - 2 )，兩者在 ( x=1 ) 處有公根。
三、應用場景
- 幾何意義
在函數圖像中，重根對應曲線與 ( x ) 軸的切點。例如 ( y = (x-1) ) 的圖像在 ( x=1 ) 處與橫軸相切。
- 工程與物理
微分方程的特征方程出現重根時，解的形式需調整（如振動系統中臨界阻尼狀态）。
- 代數結構
重根影響多項式因式分解的書寫形式，如 ( x - 3x + 3x - 1 = (x-1) )。
參考資料
- 《數學辭海》（第1卷），山西教育出版社，2002年，第215頁。
- 高等教育出版社《數學分析（上冊）》，2019年第5版，§2.3多項式理論。
- 《工程數學：線性代數與微分方程》，清華大學出版社，2020年，第178頁。
網絡擴展解釋
重根是代數學中多項式方程的一個重要概念，指一個根在方程中重複出現的次數。以下是詳細解釋：
1. 基本定義
- 重根：若多項式方程 ( f(x) = 0 ) 的因式分解中包含 ((x - a)^k)（(k geq 2)），則稱 (x = a) 是方程的k重根（或稱“重複k次的根”）。
- 舉例：方程 ((x - 2) = 0) 中，(x = 2) 是三重根。
2. 判别方法
- 導數法：若 (a) 是 (f(x) = 0) 的根，且同時滿足 (f'(a) = 0)（即(a)也是導數的根），則(a)是重根。重根次數等于滿足 (f^{(m)}(a) = 0) 的最高階導數(m + 1)。
- 判别式：對二次方程 (ax + bx + c = 0)，當判别式 (Delta = b - 4ac = 0) 時，方程有二重根。
3. 幾何意義
- 在圖像中，單根對應函數圖像與x軸的交點，而重根對應圖像與x軸的切點（即曲線在此點處“剛好接觸”x軸但不穿過）。
- 例如：抛物線 (y = (x - 1)) 在(x = 1)處與x軸相切，此處為二重根。
4. 應用場景
- 工程學：在振動分析中，重根可能對應系統的臨界阻尼狀态。
- 幾何學：重根可用于判斷曲線與坐标軸的接觸性質（如切觸次數）。
重根反映了方程根的多重性，其存在性可通過導數或判别式判斷，并在幾何和物理問題中具有實際意義。理解重根有助于分析方程解的穩定性及系統行為。
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