二次多項式的意思、二次多項式的詳細解釋

二次多項式的解釋

(1) [quadratic polynomial]∶其每一項的最高次數為2的一個多項式

(2) [quadratic]∶二次的多項式

詞語分解

• 多項式的解釋 包含多個單項式的代數式, , ;, 的多項式是含有限多個形如 , ; 的單項式和的表達式,其中是某個數,而 , ; 都是非負整數詳細解釋 又稱“有理整式”。有限個單項式的代數

專業解析

二次多項式是代數學中的基礎概念，指由變量（如 ( x )）、常數及系數通過加減運算構成，且最高次項為二次的代數表達式。其标準形式為：

$$ ax + bx + c quad (a eq 0) $$ 其中：

• ( a, b, c ) 為常數，且 ( a ) 稱為二次項系數（不可為零，否則退化為一次式）；
• ( bx ) 為一次項，( c ) 為常數項。

核心特征與詞源解析

1. “二次”的含義

   源于多項式各項中變量的最高指數為 2（即 ( x ) 項）。例如 ( 3x - 4x + 1 ) 中，( x ) 的指數 2 決定其“二次”屬性。

2. “多項式”的定義

   由希臘語“poly”（多）與“nomial”（項）組合而成，指包含有限個單項式的代數和。二次多項式即由 ( x )、( x ) 和常數三類單項式構成。

數學意義與應用

• 幾何意義：在平面直角坐标系中，二次多項式 ( y = ax + bx + c ) 的圖像為抛物線，其開口方向（由 ( a ) 的正負決定）、頂點和對稱軸是核心分析對象。
• 根的特性：方程 ( ax + bx + c = 0 ) 的解稱為根，可通過求根公式 ( x = frac{-b pm sqrt{b - 4ac}}{2a} ) 計算，判别式 ( Delta = b - 4ac ) 決定實根個數（2 個、1 個或無實根）。

參考來源

定義與性質參考高等教育出版社《代數學基礎》（ISBN 978-7-04-050694-6）及《數學名詞》審定委員會發布的《數學術語》标準釋義。

網絡擴展解釋

二次多項式是指次數為2的多項式，其一般形式為：
$$
ax + bx + c quad (a eq 0)
$$
其中：

• 二次項：( ax )是最高次項，系數( a )決定抛物線的開口方向（( a>0 )時開口向上，( a<0 )時向下）。
• 一次項：( bx )影響抛物線的對稱軸位置和頂點橫坐标。
• 常數項：( c )表示抛物線與y軸的交點（縱截距）。

關鍵特性：

1. 圖像形狀
   二次多項式的圖像是抛物線，對稱軸為直線( x = -frac{b}{2a} )，頂點坐标為( left( -frac{b}{2a}, c - frac{b}{4a} right) )。

2. 根的求解
   方程( ax + bx + c = 0 )的解（根）可通過求根公式計算：
   $$
   x = frac{-b pm sqrt{b - 4ac}}{2a}
   $$
   根的個數由判别式( Delta = b - 4ac )決定：

   • ( Delta > 0 )時有兩個不同實根；
   • ( Delta = 0 )時有一個實根（重根）；
   • ( Delta < 0 )時無實根，但有共轭複根。

3. 應用場景

   • 物理學中描述抛體運動軌迹；
   • 工程學中用于抛物線形結構設計（如衛星天線）；
   • 優化問題中求取極值（如利潤最大化、成本最小化）。

與高次多項式的區别

二次多項式是次數為2的特例，而一次多項式（如( 3x + 2 )）圖像為直線，三次多項式（如( x + x )）則可能呈現“S”形曲線。

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