二次多项式的意思、二次多项式的详细解释

二次多项式的解释

(1) [quadratic polynomial]∶其每一项的最高次数为2的一个多项式

(2) [quadratic]∶二次的多项式

词语分解

• 多项式的解释 包含多个单项式的代数式, , ;, 的多项式是含有限多个形如 , ; 的单项式和的表达式,其中是某个数,而 , ; 都是非负整数详细解释 又称“有理整式”。有限个单项式的代数

专业解析

二次多项式是代数学中的基础概念，指由变量（如 ( x )）、常数及系数通过加减运算构成，且最高次项为二次的代数表达式。其标准形式为：

$$ ax + bx + c quad (a eq 0) $$ 其中：

• ( a, b, c ) 为常数，且 ( a ) 称为二次项系数（不可为零，否则退化为一次式）；
• ( bx ) 为一次项，( c ) 为常数项。

核心特征与词源解析

1. “二次”的含义

   源于多项式各项中变量的最高指数为 2（即 ( x ) 项）。例如 ( 3x - 4x + 1 ) 中，( x ) 的指数 2 决定其“二次”属性。

2. “多项式”的定义

   由希腊语“poly”（多）与“nomial”（项）组合而成，指包含有限个单项式的代数和。二次多项式即由 ( x )、( x ) 和常数三类单项式构成。

数学意义与应用

• 几何意义：在平面直角坐标系中，二次多项式 ( y = ax + bx + c ) 的图像为抛物线，其开口方向（由 ( a ) 的正负决定）、顶点和对称轴是核心分析对象。
• 根的特性：方程 ( ax + bx + c = 0 ) 的解称为根，可通过求根公式 ( x = frac{-b pm sqrt{b - 4ac}}{2a} ) 计算，判别式 ( Delta = b - 4ac ) 决定实根个数（2 个、1 个或无实根）。

参考来源

定义与性质参考高等教育出版社《代数学基础》（ISBN 978-7-04-050694-6）及《数学名词》审定委员会发布的《数学术语》标准释义。

网络扩展解释

二次多项式是指次数为2的多项式，其一般形式为：
$$
ax + bx + c quad (a eq 0)
$$
其中：

• 二次项：( ax )是最高次项，系数( a )决定抛物线的开口方向（( a>0 )时开口向上，( a<0 )时向下）。
• 一次项：( bx )影响抛物线的对称轴位置和顶点横坐标。
• 常数项：( c )表示抛物线与y轴的交点（纵截距）。

关键特性：

1. 图像形状
   二次多项式的图像是抛物线，对称轴为直线( x = -frac{b}{2a} )，顶点坐标为( left( -frac{b}{2a}, c - frac{b}{4a} right) )。

2. 根的求解
   方程( ax + bx + c = 0 )的解（根）可通过求根公式计算：
   $$
   x = frac{-b pm sqrt{b - 4ac}}{2a}
   $$
   根的个数由判别式( Delta = b - 4ac )决定：

   • ( Delta > 0 )时有两个不同实根；
   • ( Delta = 0 )时有一个实根（重根）；
   • ( Delta < 0 )时无实根，但有共轭复根。

3. 应用场景

   • 物理学中描述抛体运动轨迹；
   • 工程学中用于抛物线形结构设计（如卫星天线）；
   • 优化问题中求取极值（如利润最大化、成本最小化）。

与高次多项式的区别

二次多项式是次数为2的特例，而一次多项式（如( 3x + 2 )）图像为直线，三次多项式（如( x + x )）则可能呈现“S”形曲线。

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