極大值的意思、極大值的詳細解釋

極大值的解釋

(1) [maximum]

(2) 有限數集中一個不小于任何其它數的數

(3) 具有一個或一個以上獨立變量的數學函數的這樣一個值,當其中任何一個獨立變量增加或減少一個足夠小的量時,都将導緻函數值的減小

極的解釋極（極） í 頂端，最高點，盡頭：登極（帝王即位）。登峰造極。指地球的南北兩端或電路、磁體的正負兩端：極地（極圈以内的地區）。極圈。北極。陰極。盡，達到頂點：極力。極目四望。物極必反。最高的，

在數學分析中，極大值（Maximum Value）是指函數在某個特定區間或定義域内所能取到的最大值。它分為兩種類型：

局部極大值（Relative Maximum / Local Maximum）
- 定義：如果存在點 $x_0$ 的一個鄰域（例如開區間 $(x_0 - delta, x_0 + delta)$），使得對于該鄰域内的所有 $x$，都有 $f(x) leq f(x_0)$，則稱 $f(x_0)$ 是函數 $f(x)$ 的一個局部極大值，點 $x_0$ 稱為函數 $f(x)$ 的一個極大點。
- 特征：它是在函數圖像上某個“山峰”的頂點處取得的函數值。該值在其附近的小範圍内是最大的，但不一定是整個定義域上的最大值。
全局極大值（Absolute Maximum / Global Maximum）
- 定義：如果對于函數 $f(x)$ 定義域 $D$ 内的所有 $x$，都有 $f(x) leq f(x_0)$，則稱 $f(x_0)$ 是函數 $f(x)$ 在定義域 $D$ 上的全局極大值（或稱最大值），點 $x_0$ 稱為函數 $f(x)$ 在 $D$ 上的最大點。
- 特征：它是函數在整個定義域或指定區間上所能達到的最大值。一個函數可能有多個局部極大值，但全局極大值（如果存在）是唯一的（盡管可能在多個點取得相同的最大值）。

核心要點

“極”的含義：在數學術語“極大值”中，“極”字表示“頂點”、“盡頭”、“最高程度”的意思，引申為“在某個範圍内達到頂點或極限狀态”。“大”則直接指代數值的大小。因此，“極大值”就是指函數值在特定範圍内所能達到的最大極限值。
與最大值的關系：全局極大值就是通常所說的最大值。局部極大值是局部的最大值。
存在性：根據極值定理（Extreme Value Theorem），如果函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，那麼 $f(x)$ 在該區間上必定取得其全局最大值和全局最小值。
尋找方法：尋找極大值點通常通過求函數的導數 $f'(x)$ 并令其為零（求臨界點 $f'(x) = 0$ 或導數不存在的點），然後利用一階導數測試或二階導數測試來判斷臨界點是否為極大點。對于閉區間上的全局極大值，還需比較區間端點的函數值。

參考來源

華東師範大學數學系編。《數學分析（上冊）》（第四版）。高等教育出版社。第 143 頁（局部極值定義）。
同濟大學數學系編。《高等數學》（第七版）。高等教育出版社。第 155 頁（最大值最小值定義）。
中國社會科學院語言研究所詞典編輯室。《現代漢語詞典》（第 7 版）。商務印書館。“極”字釋義。
Stewart, James.《Calculus: Early Transcendentals》(8th Ed.). Cengage Learning. Chapter 4.1 (Extreme Value Theorem).

在數學分析中，極大值是指函數在某點附近局部範圍内的最大值。具體可分為兩類：

若存在一個正數$delta$，使得當$x$在點$a$的$delta$鄰域（即$|x-a|<delta$）内時，恒有： $$ f(x) leq f(a) $$ 則稱$f(a)$是函數$f(x)$的一個局部極大值，此時$a$稱為極大值點。

若對于函數定義域内的所有$x$，都滿足： $$ f(x) leq f(a) $$ 則稱$f(a)$是函數$f(x)$的全局極大值，即整個定義域上的最大值。

函數$f(x)=-x$在$x=0$處取得極大值0，因為其二階導數$f''(0)=-2<0$，滿足極大值條件。