同倫的意思、同倫的詳細解釋

同倫的解釋

(1).同一等第。《穀梁傳·文公十八年》：“秋， 公子遂 、 叔孫得臣 如 齊 ，使舉上客，而不稱介，不正其同倫而相介，故列而數之也。”

(2).同類。 漢 賈誼 《新書·等齊》：“君臣同倫，異等同服，則上惡能不眩於其下？” 清 龔自珍 《發大心文》：“當念衆生現富單那形、鳩槃荼形、夜迦形，或人生中粗弊如畜，福力輕微，或生疣贅，五官不全，同倫譏厭，己亦厭苦，我當巧術而以度之。”

(3).同一道德标準。《禮記·中庸》：“今天下車同軌，書同文，行同倫。” 孔穎達 疏：“行同倫，倫，道也，言人所行之行皆同道理。”

詞語分解

• 同的解釋 同 ó 一樣，沒有差異；相同。同一（ａ．一緻，統一；ｂ．共同的一個或一種）。同侪（同輩）。同庚（同歲）。同年。同胞。同人（ａ．在同一單位工作的人；ｂ．同行業的人）。同仁（同人）。同仇敵忾。同工異曲。同
• 倫的解釋 倫 （倫） ú 輩，類：無與倫比。不倫不類。 人與人之間的關系：人倫。天倫。倫常。 * 。 條理，次序：倫次。倫類（ａ．條理；ｂ．同類）。 姓。 筆畫數：； 部首：亻； 筆順編號：

專業解析

在漢語詞典及專業學術語境中，“同倫”是一個具有特定數學内涵的術語，尤其在拓撲學中占據核心地位。其詳細解釋如下：

1. 基本釋義與核心概念 “同倫”（Homotopy）描述的是拓撲空間中兩條連續路徑（或更廣義的連續映射）之間的一種連續形變關系。 具體而言，如果存在一個連續的變換過程（即同倫映射），能将一條路徑光滑地、不間斷地“拉扯”成另一條路徑，同時在此過程中路徑的起點和終點保持不變（或在更廣義的定義下滿足特定條件），則稱這兩條路徑是同倫的。 這體現了拓撲學關注圖形在連續變形下保持不變的性質（拓撲不變性）的核心思想。

2. 數學定義（拓撲學視角） 在嚴格的數學定義中，設 $X$ 和 $Y$ 是兩個拓撲空間，$f, g: X to Y$ 是兩個連續映射。一個從 $f$ 到 $g$ 的同倫是一個連續映射 $H: X times [0, 1] to Y$，使得對于所有 $x in X$，滿足： $$ H(x, 0) = f(x) quad text{和} quad H(x, 1) = g(x) $$ 這裡，參數 $t in $ 被視為“時間”，$H(x, t)$ 描述了從 $f(x)$ 到 $g(x)$ 的連續形變過程。如果這樣的 $H$ 存在，則稱 $f$ 和 $g$ 是同倫的，記作 $f simeq g$。

3. 直觀示例

   • 平面上的閉合曲線： 在同一個平面上，一個圓和一個點通常不是同倫的，因為無法在不撕裂的情況下将圓連續縮成一個點（平面有“洞”的概念）。但在一個球面上，所有的簡單閉合曲線都是同倫的，因為它們都可以連續縮成一個點（球面是單連通的）。
   • 環繞圓環的曲線： 在一個圓環面（如甜甜圈表面）上，繞中心孔一圈的曲線和繞兩圈的曲線不是同倫的，因為它們代表了不同的“環繞方式”，無法通過連續變形互相轉換。

4. 應用領域與重要性

   • 拓撲不變量的定義： 同倫是定義許多重要拓撲不變量的基礎，例如基本群（$pi_1$） 和高階同倫群（$pi_n$）。這些群通過研究空間中閉合路徑（或高維球面映射）的同倫類來刻畫空間的“孔洞”結構（如連通性、單連通性、高階連通性）。
   • 同倫等價： 如果兩個拓撲空間 $X$ 和 $Y$ 之間存在連續映射 $f: X to Y$ 和 $g: Y to X$，使得 $g circ f$ 同倫于 $X$ 上的恒等映射，$f circ g$ 同倫于 $Y$ 上的恒等映射，則稱 $X$ 和 $Y$ 是同倫等價的。同倫等價是一種比同胚（存在連續的雙射且其逆也連續）更弱的等價關系，它保留了諸如同倫群等重要的拓撲性質。
   • 數學其他分支： 同倫理論的思想和方法也廣泛應用于代數幾何、微分幾何、範疇論、甚至理論物理（如弦論）等領域。

5. 相關概念

   • 同倫類： 所有相互同倫的映射構成的集合稱為一個同倫類。基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的元素就是以某點 $x_0$ 為基點的所有閉合路徑的同倫類。
   • 同倫群： 推廣基本群的概念，用高維球面 $S^n$ 到空間 $X$ 的映射的同倫類來定義 $pi_n(X, x_0)$，揭示了空間的高維孔洞信息。

權威來源參考：

• 李忠, 周建瑩. 《高等數學（下）》. 北京大學出版社. (闡釋基本概念與直觀例子)
• 尤承業. 《基礎拓撲學講義》. 北京大學出版社. (提供嚴格定義與同倫等價概念)
• Hatcher, A. (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. (标準代數拓撲教材，深入講解同倫、基本群、同倫群)
• May, J. P. (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. (精煉介紹同倫理論核心内容與應用)

網絡擴展解釋

“同倫”是一個多義詞，其含義根據使用場景不同而有所差異。以下是綜合不同來源後的詳細解釋：

一、詞語釋義（古代及一般用法）

1. 同一等第
   指身份、地位處于同一等級。例如《穀梁傳·文公十八年》中描述人物關系時提到“不正其同倫而相介”，強調等級的一緻性。

2. 同類
   表示事物或人屬于相同類别。漢代賈誼《新書·等齊》中“君臣同倫”即指君臣屬于同類群體。

3. 同一道德标準
   指遵循統一的社會規範或倫理準則。如《禮記》中“行同倫”即強調社會行為标準的統一性。

二、數學領域（拓撲學核心概念）

在數學中，“同倫”描述了兩個對象之間的連續形變關系，是拓撲學中比同胚更一般的等價關系。

1. 基本定義

   • 同倫映射：設兩個連續映射 ( f, g: X to Y )，若存在連續映射 ( F: X times I to Y )（其中 ( I= )），使得： $$ F(x,0) = f(x), quad F(x,1) = g(x) $$ 則稱 ( f ) 與 ( g ) 同倫，( F ) 稱為同倫映射。

2. 等價關系性質

   • 自反性：任何映射與自身同倫。
   • 對稱性：若 ( f ) 同倫于 ( g )，則 ( g ) 也同倫于 ( f )。
   • 傳遞性：若 ( f ) 同倫于 ( g )，( g ) 同倫于 ( h )，則 ( f ) 同倫于 ( h )。

3. 應用場景
   同倫用于研究拓撲空間的分類，例如計算流形的同倫群，判斷封閉曲線是否能收縮為一點等。

三、總結

• 普通語境：多用于古代文獻，強調等級、類别或道德标準的統一。
• 數學語境：描述拓撲空間中連續映射的形變關系，是現代數學研究複雜空間性質的重要工具。

如需更深入理解數學定義，可參考拓撲學教材或專業百科（如來源）。

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