同伦的意思、同伦的详细解释

同伦的解释

(1).同一等第。《穀梁传·文公十八年》：“秋， 公子遂 、 叔孙得臣 如 齐 ，使举上客，而不称介，不正其同伦而相介，故列而数之也。”

(2).同类。 汉 贾谊 《新书·等齐》：“君臣同伦，异等同服，则上恶能不眩於其下？” 清 龚自珍 《发大心文》：“当念众生现富单那形、鳩槃荼形、夜迦形，或人生中粗弊如畜，福力轻微，或生疣赘，五官不全，同伦讥厌，己亦厌苦，我当巧术而以度之。”

(3).同一道德标准。《礼记·中庸》：“今天下车同轨，书同文，行同伦。” 孔颖达 疏：“行同伦，伦，道也，言人所行之行皆同道理。”

词语分解

• 同的解释 同 ó 一样，没有差异；相同。同一（ａ．一致，统一；ｂ．共同的一个或一种）。同侪（同辈）。同庚（同岁）。同年。同胞。同人（ａ．在同一单位工作的人；ｂ．同行业的人）。同仁（同人）。同仇敌忾。同工异曲。同
• 伦的解释 伦 （倫） ú 辈，类：无与伦比。不伦不类。 人与人之间的关系：人伦。天伦。伦常。 * 。 条理，次序：伦次。伦类（ａ．条理；ｂ．同类）。 姓。 笔画数：； 部首：亻； 笔顺编号：

专业解析

在汉语词典及专业学术语境中，“同伦”是一个具有特定数学内涵的术语，尤其在拓扑学中占据核心地位。其详细解释如下：

1. 基本释义与核心概念 “同伦”（Homotopy）描述的是拓扑空间中两条连续路径（或更广义的连续映射）之间的一种连续形变关系。 具体而言，如果存在一个连续的变换过程（即同伦映射），能将一条路径光滑地、不间断地“拉扯”成另一条路径，同时在此过程中路径的起点和终点保持不变（或在更广义的定义下满足特定条件），则称这两条路径是同伦的。 这体现了拓扑学关注图形在连续变形下保持不变的性质（拓扑不变性）的核心思想。

2. 数学定义（拓扑学视角） 在严格的数学定义中，设 $X$ 和 $Y$ 是两个拓扑空间，$f, g: X to Y$ 是两个连续映射。一个从 $f$ 到 $g$ 的同伦是一个连续映射 $H: X times [0, 1] to Y$，使得对于所有 $x in X$，满足： $$ H(x, 0) = f(x) quad text{和} quad H(x, 1) = g(x) $$ 这里，参数 $t in $ 被视为“时间”，$H(x, t)$ 描述了从 $f(x)$ 到 $g(x)$ 的连续形变过程。如果这样的 $H$ 存在，则称 $f$ 和 $g$ 是同伦的，记作 $f simeq g$。

3. 直观示例

   • 平面上的闭合曲线： 在同一个平面上，一个圆和一个点通常不是同伦的，因为无法在不撕裂的情况下将圆连续缩成一个点（平面有“洞”的概念）。但在一个球面上，所有的简单闭合曲线都是同伦的，因为它们都可以连续缩成一个点（球面是单连通的）。
   • 环绕圆环的曲线： 在一个圆环面（如甜甜圈表面）上，绕中心孔一圈的曲线和绕两圈的曲线不是同伦的，因为它们代表了不同的“环绕方式”，无法通过连续变形互相转换。

4. 应用领域与重要性

   • 拓扑不变量的定义： 同伦是定义许多重要拓扑不变量的基础，例如基本群（$pi_1$） 和高阶同伦群（$pi_n$）。这些群通过研究空间中闭合路径（或高维球面映射）的同伦类来刻画空间的“孔洞”结构（如连通性、单连通性、高阶连通性）。
   • 同伦等价： 如果两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 之间存在连续映射 $f: X to Y$ 和 $g: Y to X$，使得 $g circ f$ 同伦于 $X$ 上的恒等映射，$f circ g$ 同伦于 $Y$ 上的恒等映射，则称 $X$ 和 $Y$ 是同伦等价的。同伦等价是一种比同胚（存在连续的双射且其逆也连续）更弱的等价关系，它保留了诸如同伦群等重要的拓扑性质。
   • 数学其他分支： 同伦理论的思想和方法也广泛应用于代数几何、微分几何、范畴论、甚至理论物理（如弦论）等领域。

5. 相关概念

   • 同伦类： 所有相互同伦的映射构成的集合称为一个同伦类。基本群 $pi_1(X, x_0)$ 的元素就是以某点 $x_0$ 为基点的所有闭合路径的同伦类。
   • 同伦群： 推广基本群的概念，用高维球面 $S^n$ 到空间 $X$ 的映射的同伦类来定义 $pi_n(X, x_0)$，揭示了空间的高维孔洞信息。

权威来源参考：

• 李忠, 周建莹. 《高等数学（下）》. 北京大学出版社. (阐释基本概念与直观例子)
• 尤承业. 《基础拓扑学讲义》. 北京大学出版社. (提供严格定义与同伦等价概念)
• Hatcher, A. (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. (标准代数拓扑教材，深入讲解同伦、基本群、同伦群)
• May, J. P. (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. (精炼介绍同伦理论核心内容与应用)

网络扩展解释

“同伦”是一个多义词，其含义根据使用场景不同而有所差异。以下是综合不同来源后的详细解释：

一、词语释义（古代及一般用法）

1. 同一等第
   指身份、地位处于同一等级。例如《穀梁传·文公十八年》中描述人物关系时提到“不正其同伦而相介”，强调等级的一致性。

2. 同类
   表示事物或人属于相同类别。汉代贾谊《新书·等齐》中“君臣同伦”即指君臣属于同类群体。

3. 同一道德标准
   指遵循统一的社会规范或伦理准则。如《礼记》中“行同伦”即强调社会行为标准的统一性。

二、数学领域（拓扑学核心概念）

在数学中，“同伦”描述了两个对象之间的连续形变关系，是拓扑学中比同胚更一般的等价关系。

1. 基本定义

   • 同伦映射：设两个连续映射 ( f, g: X to Y )，若存在连续映射 ( F: X times I to Y )（其中 ( I= )），使得： $$ F(x,0) = f(x), quad F(x,1) = g(x) $$ 则称 ( f ) 与 ( g ) 同伦，( F ) 称为同伦映射。

2. 等价关系性质

   • 自反性：任何映射与自身同伦。
   • 对称性：若 ( f ) 同伦于 ( g )，则 ( g ) 也同伦于 ( f )。
   • 传递性：若 ( f ) 同伦于 ( g )，( g ) 同伦于 ( h )，则 ( f ) 同伦于 ( h )。

3. 应用场景
   同伦用于研究拓扑空间的分类，例如计算流形的同伦群，判断封闭曲线是否能收缩为一点等。

三、总结

• 普通语境：多用于古代文献，强调等级、类别或道德标准的统一。
• 数学语境：描述拓扑空间中连续映射的形变关系，是现代数学研究复杂空间性质的重要工具。

如需更深入理解数学定义，可参考拓扑学教材或专业百科（如来源）。

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