有兩個或兩個以上自變量的函數。
多元函數是數學分析中的核心概念，指依賴于兩個或兩個以上自變量的函數關系。根據《現代漢語詞典》第七版的釋義，其定義為“在某一變化過程中，若某變量隨多個其他變量的變化而按一定規則對應，則該變量稱為多元函數”（來源：《現代漢語詞典》）。從數學角度可表述為：設有變量$y$與$n$個變量$x_1,x_2,cdots,x_n$，若通過對應法則$f$存在關系$y=f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，則稱$y$為這$n$個自變量的多元函數（來源：《高等數學（第七版）》）。
該概念具有三個關鍵特征：
在工程領域，多元函數廣泛應用于流體力學中的速度場建模、經濟學中的多因素生産函數分析等場景。其偏導數、方向導數等衍生概念，更是微分方程和優化算法研究的基礎工具（來源：《工程數學手冊》）。
多元函數是數學分析中的重要概念，指依賴于兩個或兩個以上自變量的函數。其核心特征是通過多個輸入變量共同決定唯一的輸出值。以下從定義、示例、幾何意義和實際應用等方面進行解釋：
1. 定義與符號表示
設 ( D subseteq mathbb{R}^n ) 是n維實數空間的非空子集，若存在對應法則 ( f )，使得對每個點 ( (x_1,x_2,...,x_n) in D )，都有唯一确定的實數 ( y ) 與之對應，則稱 ( y = f(x_1,x_2,...,x_n) ) 為n元函數。例如二元函數寫作 ( z = f(x,y) )，三元函數寫作 ( u = f(x,y,z) )。
2. 典型示例
3. 幾何意義
二元函數 ( z = f(x,y) ) 的圖像在三維坐标系中表現為曲面，如抛物面 ( z = x + y )。更高維函數雖無法直觀圖示，但可通過等高線（二元函數）或截面法（多元函數）輔助分析。
4. 應用領域
關鍵數學工具
研究多元函數需掌握偏導數（分析單變量變化的影響）、方向導數（任意方向變化率）、梯度向量（最大增長率方向）以及多重積分（計算體積、質量等）。這些工具構成了多元微積分的核心内容。
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