有两个或两个以上自变量的函数。
多元函数是数学分析中的核心概念，指依赖于两个或两个以上自变量的函数关系。根据《现代汉语词典》第七版的释义，其定义为“在某一变化过程中，若某变量随多个其他变量的变化而按一定规则对应，则该变量称为多元函数”（来源：《现代汉语词典》）。从数学角度可表述为：设有变量$y$与$n$个变量$x_1,x_2,cdots,x_n$，若通过对应法则$f$存在关系$y=f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，则称$y$为这$n$个自变量的多元函数（来源：《高等数学（第七版）》）。
该概念具有三个关键特征：
在工程领域，多元函数广泛应用于流体力学中的速度场建模、经济学中的多因素生产函数分析等场景。其偏导数、方向导数等衍生概念，更是微分方程和优化算法研究的基础工具（来源：《工程数学手册》）。
多元函数是数学分析中的重要概念，指依赖于两个或两个以上自变量的函数。其核心特征是通过多个输入变量共同决定唯一的输出值。以下从定义、示例、几何意义和实际应用等方面进行解释：
1. 定义与符号表示
设 ( D subseteq mathbb{R}^n ) 是n维实数空间的非空子集，若存在对应法则 ( f )，使得对每个点 ( (x_1,x_2,...,x_n) in D )，都有唯一确定的实数 ( y ) 与之对应，则称 ( y = f(x_1,x_2,...,x_n) ) 为n元函数。例如二元函数写作 ( z = f(x,y) )，三元函数写作 ( u = f(x,y,z) )。
2. 典型示例
3. 几何意义
二元函数 ( z = f(x,y) ) 的图像在三维坐标系中表现为曲面，如抛物面 ( z = x + y )。更高维函数虽无法直观图示，但可通过等高线（二元函数）或截面法（多元函数）辅助分析。
4. 应用领域
关键数学工具
研究多元函数需掌握偏导数（分析单变量变化的影响）、方向导数（任意方向变化率）、梯度向量（最大增长率方向）以及多重积分（计算体积、质量等）。这些工具构成了多元微积分的核心内容。
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