極值的意思、極值的詳細解釋
極值的解釋
(1) [extremum]∶數學函數的一種穩定值,即一個極大值或一個極小值
(2) [extreme value]∶在給定的時期内,或該時期的一定月份或季節内觀測到的氣候要素的最高值或最低值。如果這個時期是整個有觀測資料的時期,這個極值就是絕對極值
詳細解釋
極大值和極小值的統稱。設函數f(x)在(x0-δ，x0+δ)(δ＞0)内有定義，且對于一切x∈(x0-δ，x0+δ)有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)是f(x)的一個極大值(或極小值)，又稱x0是f(x)的一個極大值點(或極小值點)。
詞語分解
- 極的解釋 極 （極） í 頂端，最高點，盡頭：登極（帝王即位）。登峰造極。 指地球的南北兩端或電路、磁體的正負兩端：極地（極圈以内的地區）。極圈。北極。陰極。 盡，達到頂點：極力。極目四望。物極必反。 最高的，
- 值的解釋 值 í 價值，價錢：币值。産值。貶值。升值。 物和價相當，引申有意義或有價值：值百元。不值一文。值當。 數學上指演算所得結果：數值。比值。函數值。 遇到，逢着：相值。值遇。正值。 當，輪到：當值。值班
專業解析
在漢語詞典中，“極值”是數學與物理學的專業術語，指函數在特定區間内的最大或最小值。其構成由“極”與“值”兩部分組成：
- “極”：本義為頂點、盡頭，引申為“達到最高程度”（參考來源：漢典 zdic.net）。
- “值”：表示數值或量度，指某一變量的具體數據結果。
專業定義：極值分為“極大值”與“極小值”，即函數在某點附近的值均小于或大于該點對應值的臨界狀态。例如，函數$f(x)$在點$x_0$處滿足$f(x_0) geq f(x)$（極大值）或$f(x_0) leq f(x)$（極小值），則稱$x_0$為極值點（參考來源：中國哲學書電子化計劃 ctext.org）。
應用領域：該概念廣泛用于優化問題、工程建模及經濟學分析，如橋梁承重設計、股票價格波動預測等（參考來源：百度學術 xueshu.baidu.com）。
網絡擴展解釋
極值是數學分析中描述函數局部性質的重要概念，具體解釋如下：
一、定義
極值分為極大值和極小值：
- 極大值：若存在點( x_0 )的某個鄰域，使得該鄰域内所有( x )滿足( f(x) leq f(x_0) )，則稱( f(x_0) )為函數的極大值。
- 極小值：若存在點( x_0 )的某個鄰域，使得該鄰域内所有( x )滿足( f(x) geq f(x_0) )，則稱( f(x_0) )為函數的極小值。
二、存在條件
- 必要條件（費馬定理）：若函數在( x_0 )處可導且取得極值，則( f'(x_0) = 0 )。此時( x_0 )稱為駐點或臨界點。
- 充分條件：
- 一階導數判定法：若導數在( x_0 )兩側符號相反（左正右負為極大值，左負右正為極小值）。
- 二階導數判定法：若( f''(x_0)
eq 0 )，則：
$$
f''(x_0) > 0 Rightarrow x_0 text{為極小值點}
f''(x_0) < 0 Rightarrow x_0 text{為極大值點}
$$
三、注意事項
- 極值 vs 最值：極值是局部概念，最值是全局概念。例如，函數可能在多個點有極大值，但最大值隻有一個。
- 不可導點：極值可能出現在導數不存在的點（如( f(x) = |x| )在( x=0 )處有極小值）。
- 端點極值：在閉區間([a,b])上，端點( a )或( b )也可能是極值點。
四、應用示例
考慮函數( f(x) = x - 3x )：
- 求導得( f'(x) = 3x - 3 )，解( f'(x)=0 )得臨界點( x=1 )和( x=-1 )。
- 二階導數( f''(x) = 6x )：
- ( f''(1) = 6 > 0 Rightarrow x=1 )為極小值點（極小值( f(1)=-2 )）。
- ( f''(-1) = -6 < 0 Rightarrow x=-1 )為極大值點（極大值( f(-1)=2 )）。
這一概念在物理學、工程優化、經濟學等領域廣泛應用，例如尋找最短路徑、成本最小化等問題。
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