代數數的意思、代數數的詳細解釋

代數數的解釋

能滿足整系數代數方程的數。如全體有理數及3、i(=-1)等都是代數數。其中能滿足首項系數為1的整系數代數方程的數，稱為“代數整數”。

詞語分解

• 代的解釋 代 à 替：代替。代辦。代銷。代序。代表。 曆史上劃分的時期：時代。世代。古代。近代。現代。當（乶 ）代。年代。 世系的輩分：下一代。 姓。 筆畫數：； 部首：亻； 筆順編號：
• 數數的解釋 .猶汲汲。迫切貌。《莊子·逍遙遊》：“彼其於世，未數數然也。” 陸德明 釋文：“ 司馬 雲：‘猶汲汲也。’ 崔 雲：‘迫促意也。’”.屢次；常常。《漢書·李陵傳》：“ 立政 等見 陵 ，未得私語，即目

專業解析

代數數是數學中一類重要的數，其核心定義可以從漢語詞典的字面含義和數學專業定義兩個層面來理解：

1. 漢語詞典角度的字面含義：

   • 代： 可以理解為“代替”、“符號化”。在數學中，指用字母等符號代表未知數或變量進行運算和研究。
   • 數： 指具體的數值或數學對象。
   • 代數數： 組合起來，可以理解為“能夠通過代數運算（加、減、乘、除、乘方、開方）的符號表達式來定義或表示的數”。這暗示了這類數與代數方程之間的緊密聯繫。

2. 數學專業定義： 代數數是指滿足以下條件的複數： 存在一個非零多項式方程（其系數為有理數或整數），使得該數是這個方程的一個根（解）。 更精确地說：

   • 設 ( x ) 是一個複數。
   • 如果存在一個非零多項式 ( P(t) = an t^n + a{n-1} t^{n-1} + cdots + a_1 t + a_0 )，其中系數 ( a_0, a_1, ldots, a_n ) 都是有理數（或等價地，可以都是整數，通過乘以分母的最小公倍數實現），并且 ( a_n eq 0 )，
   • 使得 ( P(x) = 0 ) (即 ( an x^n + a{n-1} x^{n-1} + cdots + a_1 x + a_0 = 0 ))，
   • 那麼 ( x ) 就稱為一個代數數。

關鍵特征與示例：

• 有理數都是代數數： 任何有理數 ( frac{p}{q} ) (其中 ( p, q ) 是整數，( q eq 0 )) 都是代數數，因為它是方程 ( qx - p = 0 ) 的根。例如，( 2 ) 是 ( x - 2 = 0 ) 的根；( frac{1}{2} ) 是 ( 2x - 1 = 0 ) 的根。
• 部分無理數是代數數： 許多常見的無理數也是代數數。
  • 例如，( sqrt{2} ) 是代數數，因為它是方程 ( x - 2 = 0 ) 的根。
  • 例如，黃金比例 ( frac{1 + sqrt{5}}{2} ) 是代數數，因為它是方程 ( x - x - 1 = 0 ) 的根。
  • 例如，單位虛數 ( i ) (滿足 ( i = -1 )) 是代數數，因為它是方程 ( x + 1 = 0 ) 的根。
• 與超越數的區别： 不是代數數的複數稱為超越數。例如，圓周率 ( pi ) 和自然對數的底 ( e ) 都是超越數。它們不能作為任何非零有理系數多項式的根。
• 代數數的運算： 代數數在加、減、乘、除（除數非零）以及開方（開有限次）運算下是封閉的。這意味着兩個代數數的和、差、積、商（分母非零）仍然是代數數；一個代數數的有限次方根（如果存在）也是代數數。這使得代數數構成一個域（稱為代數數域）。

從漢語詞典角度看，“代數數”意指那些能夠通過代數符號運算（具體表現為滿足有理系數多項式方程）來定義或表示的數。在嚴格的數學定義下，代數數是指能作為某個非零有理系數多項式方程的解的複數。所有的有理數和許多重要的無理數（如平方根、立方根、某些特定比例等）都屬于代數數，它們與無法滿足任何此類方程的超越數（如 ( pi ), ( e )）形成對比。代數數在數學的基礎理論和應用（如數論、代數幾何）中扮演着核心角色。

網絡擴展解釋

代數數是指能夠作為某個非零整系數多項式方程的根的數。具體來說，若存在整數( a_0, a_1, dots, a_n )（不全為零），使得： $$ an x^n + a{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0 = 0 $$ 則稱該數( x )為代數數。

關鍵特征與示例

1. 有理數均為代數數
   例如，( frac{3}{5} ) 是代數數，因為它滿足方程 ( 5x - 3 = 0 )。

2. 部分無理數也是代數數
   如 ( sqrt{2} ) 滿足 ( x - 2 = 0 )，黃金分割比例 ( frac{1+sqrt{5}}{2} ) 滿足 ( x - x - 1 = 0 )。

3. 與超越數的區别
   超越數（如圓周率( pi )、自然常數( e )）無法用任何整系數多項式方程表示，因此不是代數數。

重要性質

• 封閉性：代數數對加、減、乘、除運算封閉，即兩個代數數的運算結果仍為代數數。
• 可數性：代數數的集合是可數的，而實數集不可數，因此超越數數量遠多于代數數。

應用領域

代數數是數論和抽象代數的核心研究對象，尤其在研究多項式方程解的結構、代數數域的擴張等問題中具有重要意義。

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