代数数的意思、代数数的详细解释

代数数的解释

能满足整系数代数方程的数。如全体有理数及3、i(=-1)等都是代数数。其中能满足首项系数为1的整系数代数方程的数，称为“代数整数”。

词语分解

• 代的解释 代 à 替：代替。代办。代销。代序。代表。 历史上划分的时期：时代。世代。古代。近代。现代。当（乶 ）代。年代。 世系的辈分：下一代。 姓。 笔画数：； 部首：亻； 笔顺编号：
• 数数的解释 .犹汲汲。迫切貌。《庄子·逍遥游》：“彼其於世，未数数然也。” 陆德明 释文：“ 司马 云：‘犹汲汲也。’ 崔 云：‘迫促意也。’”.屡次；常常。《汉书·李陵传》：“ 立政 等见 陵 ，未得私语，即目

专业解析

代数数是数学中一类重要的数，其核心定义可以从汉语词典的字面含义和数学专业定义两个层面来理解：

1. 汉语词典角度的字面含义：

   • 代： 可以理解为“代替”、“符号化”。在数学中，指用字母等符号代表未知数或变量进行运算和研究。
   • 数： 指具体的数值或数学对象。
   • 代数数： 组合起来，可以理解为“能够通过代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）的符号表达式来定义或表示的数”。这暗示了这类数与代数方程之间的紧密联系。

2. 数学专业定义： 代数数是指满足以下条件的复数： 存在一个非零多项式方程（其系数为有理数或整数），使得该数是这个方程的一个根（解）。 更精确地说：

   • 设 ( x ) 是一个复数。
   • 如果存在一个非零多项式 ( P(t) = an t^n + a{n-1} t^{n-1} + cdots + a_1 t + a_0 )，其中系数 ( a_0, a_1, ldots, a_n ) 都是有理数（或等价地，可以都是整数，通过乘以分母的最小公倍数实现），并且 ( a_n eq 0 )，
   • 使得 ( P(x) = 0 ) (即 ( an x^n + a{n-1} x^{n-1} + cdots + a_1 x + a_0 = 0 ))，
   • 那么 ( x ) 就称为一个代数数。

关键特征与示例：

• 有理数都是代数数： 任何有理数 ( frac{p}{q} ) (其中 ( p, q ) 是整数，( q eq 0 )) 都是代数数，因为它是方程 ( qx - p = 0 ) 的根。例如，( 2 ) 是 ( x - 2 = 0 ) 的根；( frac{1}{2} ) 是 ( 2x - 1 = 0 ) 的根。
• 部分无理数是代数数： 许多常见的无理数也是代数数。
  • 例如，( sqrt{2} ) 是代数数，因为它是方程 ( x - 2 = 0 ) 的根。
  • 例如，黄金比例 ( frac{1 + sqrt{5}}{2} ) 是代数数，因为它是方程 ( x - x - 1 = 0 ) 的根。
  • 例如，单位虚数 ( i ) (满足 ( i = -1 )) 是代数数，因为它是方程 ( x + 1 = 0 ) 的根。
• 与超越数的区别： 不是代数数的复数称为超越数。例如，圆周率 ( pi ) 和自然对数的底 ( e ) 都是超越数。它们不能作为任何非零有理系数多项式的根。
• 代数数的运算： 代数数在加、减、乘、除（除数非零）以及开方（开有限次）运算下是封闭的。这意味着两个代数数的和、差、积、商（分母非零）仍然是代数数；一个代数数的有限次方根（如果存在）也是代数数。这使得代数数构成一个域（称为代数数域）。

从汉语词典角度看，“代数数”意指那些能够通过代数符号运算（具体表现为满足有理系数多项式方程）来定义或表示的数。在严格的数学定义下，代数数是指能作为某个非零有理系数多项式方程的解的复数。所有的有理数和许多重要的无理数（如平方根、立方根、某些特定比例等）都属于代数数，它们与无法满足任何此类方程的超越数（如 ( pi ), ( e )）形成对比。代数数在数学的基础理论和应用（如数论、代数几何）中扮演着核心角色。

网络扩展解释

代数数是指能够作为某个非零整系数多项式方程的根的数。具体来说，若存在整数( a_0, a_1, dots, a_n )（不全为零），使得： $$ an x^n + a{n-1} x^{n-1} + dots + a_1 x + a_0 = 0 $$ 则称该数( x )为代数数。

关键特征与示例

1. 有理数均为代数数
   例如，( frac{3}{5} ) 是代数数，因为它满足方程 ( 5x - 3 = 0 )。

2. 部分无理数也是代数数
   如 ( sqrt{2} ) 满足 ( x - 2 = 0 )，黄金分割比例 ( frac{1+sqrt{5}}{2} ) 满足 ( x - x - 1 = 0 )。

3. 与超越数的区别
   超越数（如圆周率( pi )、自然常数( e )）无法用任何整系数多项式方程表示，因此不是代数数。

重要性质

• 封闭性：代数数对加、减、乘、除运算封闭，即两个代数数的运算结果仍为代数数。
• 可数性：代数数的集合是可数的，而实数集不可数，因此超越数数量远多于代数数。

应用领域

代数数是数论和抽象代数的核心研究对象，尤其在研究多项式方程解的结构、代数数域的扩张等问题中具有重要意义。

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