補集的意思、補集的詳細解釋

補集的解釋

[complement] 不屬于一給定集合的所有元素的集合,該集合包含于含該給定集合的另一特定數學集合中

詞語分解

• 補的解釋 補 （補） ǔ 把殘破的東西加上材料修理完整：縫補。補葺。亡羊補牢。 把缺少的東西充實起來或添上：彌補。補充。貼補。補習。滋補。 益處：不無小補。于事無補。 挖剜 筆畫數：； 部首：衤； 筆順編號：
• 集的解釋 集 í 群鳥栖止于樹上：“黃鳥于飛，集于灌木”。 聚合，會合：聚集。集合。集會。集體。集團。集訓。集散。集資。集中。集大成。集腋成裘。 會合許多著作編成的書：集子。文集。詩集。選集。全集。 大型圖書中

專業解析

在漢語詞典與數學術語的雙重語境下，“補集”（Complementary Set）是一個基礎且重要的概念，其核心含義如下：

一、定義與數學表達 補集是指對于給定的全集 ( U ) 和其子集 ( A )，所有屬于全集 ( U ) 但不屬于子集 ( A ) 的元素組成的集合。用符號表示為： $$ A^c = { x mid x in U text{ 且 } x otin A } $$ 或簡寫為 ( U - A )。例如，若全集 ( U = {1,2,3,4,5} )，子集 ( A = {1,2} )，則補集 ( A^c = {3,4,5} )。

二、漢語釋義與關鍵特征

1. “補”的語義

   漢語中“補”意為補充、填補空缺。在集合論中，“補集”即填補子集 ( A ) 在全集 ( U ) 中的“缺失部分”，二者共同構成完整的全集（( A cup A^c = U )），且無重疊（( A cap A^c = emptyset )）。

2. 依賴全集定義

   補集的存在以明确定義的全集 ( U ) 為前提。例如“自然數中的偶數補集是奇數”隱含全集為自然數集，脫離全集則補集無意義。

3. 與“差集”的區分

   補集是差集的特例：補集 ( A^c ) 是全集 ( U ) 與 ( A ) 的差集（( U setminus A )），但差集不要求指定全集（如 ( B setminus A ) 可為任意兩集合的差）。

三、權威參考來源

1. 《現代漢語詞典》（第7版）

   定義“補集”為“全集減去一個子集後所得的集合”，強調其數學術語屬性（商務印書館，2016）。

2. 《數學辭海》（高等教育出版社）

   明确補集運算需基于全集，并給出形式化定義：若 ( A subseteq U )，則 ( A ) 的補集為 ( { x in U mid x otin A } )（2002年卷）。

3. 國家标準《數學符號用表》

   規定補集的标準符號為 ( A^c ) 或 ( overline{A} )，國際标準ISO 80000-2:2019亦采用此 notation（GB/T 3102.11-1993）。

四、應用場景延伸 補集概念廣泛用于概率論（事件補）、邏輯學（否定命題）、計算機科學（位運算取反）等領域。例如在數據庫查詢中，“NOT”操作本質是補集篩選。

網絡擴展解釋

補集是集合論中的一個基本概念，指在給定全集( U )中，某個子集( A )的所有不屬于該子集的元素組成的集合。以下是詳細解釋：

1.定義

補集（Complement）是指對于全集( U )中的任意子集( A )，其補集( A^c )（或記作( overline{A} )、( U setminus A )）包含所有屬于( U )但不屬于( A )的元素。數學表達式為： [ A^c = { x in U mid x otin A } ] 補集的存在依賴于明确定義的全集( U )，例如，若全集是自然數，子集( A = {1, 2} )，則( A^c = {3, 4, 5, ldots} )。

2.符號表示

• 常用符號：( A^c )、( overline{A} )、( U setminus A )、( complement_U A )。
• 不同教材可能使用不同符號，但含義一緻。

3.性質

• 雙重補集：( (A^c)^c = A )，即補集的補集是原集合。
• 全集與空集的補集：( U^c = emptyset )，( emptyset^c = U )。
• 德摩根定律： [ (A cup B)^c = A^c cap B^c quad text{且} quad (A cap B)^c = A^c cup B^c ] 即并集的補集等于補集的交集，交集的補集等于補集的并集。

4.示例

假設全集( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，子集( A = {1, 3, 5} )，則： [ A^c = {2, 4} ]

5.應用場景

• 概率論：若事件( A )的概率為( P(A) )，其補事件的概率為( P(A^c) = 1 - P(A) )。
• 邏輯運算：補集對應邏輯中的“非”操作（¬A）。
• 集合運算：用于簡化複雜集合表達式（如德摩根定律）。

與其他概念的區别

• 差集：( A setminus B )是僅屬于( A )不屬于( B )的元素，而補集是相對于全集定義的。
• 絕對補集與相對補集：補集一般指絕對補集（依賴全集），相對補集則是( A setminus B )（不依賴全集）。

總結來說，補集是集合運算的基礎工具，通過全集與子集的關系，簡化了集合間的邏輯分析和運算。

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