补集的意思、补集的详细解释

补集的解释

[complement] 不属于一给定集合的所有元素的集合,该集合包含于含该给定集合的另一特定数学集合中

词语分解

• 补的解释 补 （補） ǔ 把残破的东西加上材料修理完整：缝补。补葺。亡羊补牢。 把缺少的东西充实起来或添上：弥补。补充。贴补。补习。滋补。 益处：不无小补。于事无补。 挖剜 笔画数：； 部首：衤； 笔顺编号：
• 集的解释 集 í 群鸟栖止于树上：“黄鸟于飞，集于灌木”。 聚合，会合：聚集。集合。集会。集体。集团。集训。集散。集资。集中。集大成。集腋成裘。 会合许多著作编成的书：集子。文集。诗集。选集。全集。 大型图书中

专业解析

在汉语词典与数学术语的双重语境下，“补集”（Complementary Set）是一个基础且重要的概念，其核心含义如下：

一、定义与数学表达 补集是指对于给定的全集 ( U ) 和其子集 ( A )，所有属于全集 ( U ) 但不属于子集 ( A ) 的元素组成的集合。用符号表示为： $$ A^c = { x mid x in U text{ 且 } x otin A } $$ 或简写为 ( U - A )。例如，若全集 ( U = {1,2,3,4,5} )，子集 ( A = {1,2} )，则补集 ( A^c = {3,4,5} )。

二、汉语释义与关键特征

1. “补”的语义

   汉语中“补”意为补充、填补空缺。在集合论中，“补集”即填补子集 ( A ) 在全集 ( U ) 中的“缺失部分”，二者共同构成完整的全集（( A cup A^c = U )），且无重叠（( A cap A^c = emptyset )）。

2. 依赖全集定义

   补集的存在以明确定义的全集 ( U ) 为前提。例如“自然数中的偶数补集是奇数”隐含全集为自然数集，脱离全集则补集无意义。

3. 与“差集”的区分

   补集是差集的特例：补集 ( A^c ) 是全集 ( U ) 与 ( A ) 的差集（( U setminus A )），但差集不要求指定全集（如 ( B setminus A ) 可为任意两集合的差）。

三、权威参考来源

1. 《现代汉语词典》（第7版）

   定义“补集”为“全集减去一个子集后所得的集合”，强调其数学术语属性（商务印书馆，2016）。

2. 《数学辞海》（高等教育出版社）

   明确补集运算需基于全集，并给出形式化定义：若 ( A subseteq U )，则 ( A ) 的补集为 ( { x in U mid x otin A } )（2002年卷）。

3. 国家标准《数学符号用表》

   规定补集的标准符号为 ( A^c ) 或 ( overline{A} )，国际标准ISO 80000-2:2019亦采用此 notation（GB/T 3102.11-1993）。

四、应用场景延伸 补集概念广泛用于概率论（事件补）、逻辑学（否定命题）、计算机科学（位运算取反）等领域。例如在数据库查询中，“NOT”操作本质是补集筛选。

网络扩展解释

补集是集合论中的一个基本概念，指在给定全集( U )中，某个子集( A )的所有不属于该子集的元素组成的集合。以下是详细解释：

1.定义

补集（Complement）是指对于全集( U )中的任意子集( A )，其补集( A^c )（或记作( overline{A} )、( U setminus A )）包含所有属于( U )但不属于( A )的元素。数学表达式为： [ A^c = { x in U mid x otin A } ] 补集的存在依赖于明确定义的全集( U )，例如，若全集是自然数，子集( A = {1, 2} )，则( A^c = {3, 4, 5, ldots} )。

2.符号表示

• 常用符号：( A^c )、( overline{A} )、( U setminus A )、( complement_U A )。
• 不同教材可能使用不同符号，但含义一致。

3.性质

• 双重补集：( (A^c)^c = A )，即补集的补集是原集合。
• 全集与空集的补集：( U^c = emptyset )，( emptyset^c = U )。
• 德摩根定律： [ (A cup B)^c = A^c cap B^c quad text{且} quad (A cap B)^c = A^c cup B^c ] 即并集的补集等于补集的交集，交集的补集等于补集的并集。

4.示例

假设全集( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，子集( A = {1, 3, 5} )，则： [ A^c = {2, 4} ]

5.应用场景

• 概率论：若事件( A )的概率为( P(A) )，其补事件的概率为( P(A^c) = 1 - P(A) )。
• 逻辑运算：补集对应逻辑中的“非”操作（¬A）。
• 集合运算：用于简化复杂集合表达式（如德摩根定律）。

与其他概念的区别

• 差集：( A setminus B )是仅属于( A )不属于( B )的元素，而补集是相对于全集定义的。
• 绝对补集与相对补集：补集一般指绝对补集（依赖全集），相对补集则是( A setminus B )（不依赖全集）。

总结来说，补集是集合运算的基础工具，通过全集与子集的关系，简化了集合间的逻辑分析和运算。

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