二重根的意思、二重根的詳細解釋

二重根的解釋

[double root] 在代數方程的解中出現兩次的根

二重根的漢語詞典釋義與數學解析

二重根是代數學術語，指多項式方程中某個根重複出現兩次的現象。根據《數學大辭典》的定義，若多項式方程$f(x)=0$的根$alpha$滿足$(x-alpha)$是$f(x)$的因式，但$(x-alpha)$不是其因式，則稱$alpha$為方程的二重根（重根的一種特例）。其數學表達式可表示為：

f(alpha)=0,quad f'(alpha)=0,quad f''(alpha) eq0

其中$f'(x)$和$f''(x)$分别為$f(x)$的一階和二階導數。

幾何意義與判别方法

從幾何視角看，二重根對應函數圖像與橫軸的切點（如抛物線頂點接觸x軸的情形）。判别二重根需結合多項式與導數的關系，常見方法包括：

實際應用與擴展概念

二重根在工程、物理等領域用于分析系統穩定性（如振動方程的特征根），并延伸至三重根、重根結構等更廣泛的多項式理論。

參考文獻

在代數中，"二重根"（或稱重根）指一個多項式方程中某個根重複出現的次數為2次。具體來說：

定義與判定條件
若方程( f(x) = 0 )可表示為( (x - a) cdot g(x) = 0 )，則( x = a )是二重根。此時：
- ( f(a) = 0 )（根滿足原方程）
- ( f'(a) = 0 )（一階導數在該點也為零）
- ( f''(a) eq 0 )（二階導數非零，确保重數為2而非更高）。
幾何意義
在函數圖像上，二重根對應曲線與x軸相切于點( (a, 0) )，如抛物線頂點接觸x軸的情況（例如( y = (x-2) )在x=2處）。
示例
方程( f(x) = (x-3)(x+1) = 0 )中，( x=3 )是二重根，而( x=-1 )是單根。
與單根的區别
單根處函數圖像會穿過x軸，而二重根處僅接觸不穿過，且導數為零。

二重根反映了根的重數特性，通過導數可判斷其存在性和重複次數，在多項式分解和幾何分析中有重要應用。