複根英文解釋翻譯、複根的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【建】 compound radical

分詞翻譯：

複的英語翻譯：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; re-

根的英語翻譯：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【醫】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

專業解析

複根（Complex Root）的漢英詞典釋義與數學解析

一、術語定義

複根指數學方程在複數範圍内的解，即同時包含實部和虛部的根（虛部非零）。其英文對應術語為Complex Root，常見于多項式方程、微分方程等領域。例如，二次方程 (x + 1 = 0) 的解為 (x = pm i)，即一對共轭複根。

二、核心特征

結構形式
複根的标準形式為 (a + bi)，其中：
- (a) 為實部（Real Part）
- (b) 為虛部系數（Imaginary Part Coefficient）
- (i) 是虛數單位（滿足 (i = -1)）
  當 (b eq 0) 時，根為非實數根；若 (b=0)，則退化為實根。
共轭性
實系數方程的複根總以共轭對形式出現（如 (a+bi) 與 (a-bi)）。這一性質源于實系數多項式根的對稱性。
幾何意義
在複平面上，複根對應笛卡爾坐标系中的點 ((a, b))，其模長（到原點的距離）為 (sqrt{a + b})，幅角為 (tan^{-1}(b/a))。

三、應用場景

工程計算：在控制系統分析中，微分方程的複根決定系統穩定性（如負實部對應衰減振蕩）。
信號處理：傅裡葉變換的頻譜分析依賴複根性質。
量子力學：薛定谔方程的解常涉及複根，描述粒子波函數行為。

權威參考來源

《數學術語》（中國科學院數學與系統科學研究院）
定義複根為“複數域中代數方程的解”。

查看來源（注：鍊接為示例，實際引用需替換為有效資源）
Wolfram MathWorld
詳解複根的幾何表示與共轭性質。

查看來源
ISO 80000-2:2019 國際數學符號标準
規範複數的數學符號與運算規則（第12章）。

查看來源

（注：若鍊接失效，建議通過來源名稱檢索權威機構官網獲取最新内容。）

網絡擴展解釋

“複根”是數學中與方程根相關的重要概念，具體含義和解釋如下：

一、定義

複根即複數根，指方程在複數範圍内的解。當方程在實數範圍内無解時，其解可能由實部和虛部共同構成，此時稱為複根。例如，方程$x +1=0$的解為$pm i$，即為複根（）。

二、出現場景

代數方程：如一元二次方程$ax+bx+c=0$，當判别式$Delta =b-4ac<0$時，方程無實根，但存在兩個共轭複根$frac{-b pm sqrt{4ac-b}i}{2a}$（）。
微分方程：求解特征方程時，若判别式小于零，特征根為複數形式，對應微分方程的解會包含指數函數與三角函數的組合（）。

三、複根的結構

複數根通常表示為$a+bi$，其中：

$a$為實部，$b$為虛部，$i$是虛數單位（滿足$i=-1$）；
當$a=0$時，複根為純虛數根（如$pm 2i$）；
複根常以共轭對形式出現（如$3+4i$和$3-4i$）（）。

四、實際應用

複根在工程和物理學中有廣泛應用，例如：

電路分析：描述交流電路中電壓、電流的相位關系；
振動系統：分析阻尼振蕩的頻率和衰減特性；
量子力學：波函數解中常涉及複數形式（）。

五、與實根的區别

實根：解為實數，可直接在數軸上表示；
複根：需用複數平面（實軸+虛軸）表示，包含更多維度信息（）。

如果需要進一步了解複根的求解方法（如代數法、極坐标法），可參考相關數學教材或專業資料。