复根英文解释翻译、复根的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【建】 compound radical

分词翻译：

复的英语翻译：

again; answer; compound; duplicate; resume; turn over
【医】 amb-; ambi-; ambo-; re-

根的英语翻译：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

专业解析

复根（Complex Root）的汉英词典释义与数学解析

一、术语定义

复根指数学方程在复数范围内的解，即同时包含实部和虚部的根（虚部非零）。其英文对应术语为Complex Root，常见于多项式方程、微分方程等领域。例如，二次方程 (x + 1 = 0) 的解为 (x = pm i)，即一对共轭复根。

二、核心特征

结构形式
复根的标准形式为 (a + bi)，其中：
- (a) 为实部（Real Part）
- (b) 为虚部系数（Imaginary Part Coefficient）
- (i) 是虚数单位（满足 (i = -1)）
  当 (b eq 0) 时，根为非实数根；若 (b=0)，则退化为实根。
共轭性
实系数方程的复根总以共轭对形式出现（如 (a+bi) 与 (a-bi)）。这一性质源于实系数多项式根的对称性。
几何意义
在复平面上，复根对应笛卡尔坐标系中的点 ((a, b))，其模长（到原点的距离）为 (sqrt{a + b})，幅角为 (tan^{-1}(b/a))。

三、应用场景

工程计算：在控制系统分析中，微分方程的复根决定系统稳定性（如负实部对应衰减振荡）。
信号处理：傅里叶变换的频谱分析依赖复根性质。
量子力学：薛定谔方程的解常涉及复根，描述粒子波函数行为。

权威参考来源

《数学术语》（中国科学院数学与系统科学研究院）
定义复根为“复数域中代数方程的解”。

查看来源（注：链接为示例，实际引用需替换为有效资源）
Wolfram MathWorld
详解复根的几何表示与共轭性质。

查看来源
ISO 80000-2:2019 国际数学符号标准
规范复数的数学符号与运算规则（第12章）。

查看来源

（注：若链接失效，建议通过来源名称检索权威机构官网获取最新内容。）

网络扩展解释

“复根”是数学中与方程根相关的重要概念，具体含义和解释如下：

一、定义

复根即复数根，指方程在复数范围内的解。当方程在实数范围内无解时，其解可能由实部和虚部共同构成，此时称为复根。例如，方程$x +1=0$的解为$pm i$，即为复根（）。

二、出现场景

代数方程：如一元二次方程$ax+bx+c=0$，当判别式$Delta =b-4ac<0$时，方程无实根，但存在两个共轭复根$frac{-b pm sqrt{4ac-b}i}{2a}$（）。
微分方程：求解特征方程时，若判别式小于零，特征根为复数形式，对应微分方程的解会包含指数函数与三角函数的组合（）。

三、复根的结构

复数根通常表示为$a+bi$，其中：

$a$为实部，$b$为虚部，$i$是虚数单位（满足$i=-1$）；
当$a=0$时，复根为纯虚数根（如$pm 2i$）；
复根常以共轭对形式出现（如$3+4i$和$3-4i$）（）。

四、实际应用

复根在工程和物理学中有广泛应用，例如：

电路分析：描述交流电路中电压、电流的相位关系；
振动系统：分析阻尼振荡的频率和衰减特性；
量子力学：波函数解中常涉及复数形式（）。

五、与实根的区别

实根：解为实数，可直接在数轴上表示；
复根：需用复数平面（实轴+虚轴）表示，包含更多维度信息（）。

如果需要进一步了解复根的求解方法（如代数法、极坐标法），可参考相关数学教材或专业资料。