雙曲型函數英文解釋翻譯、雙曲型函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 hyperbolic function

分詞翻譯：

雙的英語翻譯：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【醫】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

曲的英語翻譯：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【醫】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

型的英語翻譯：

model; mould; type
【醫】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【經】 type

函數的英語翻譯：

function
【計】 F; FUNC; function

專業解析

雙曲型函數（hyperbolic functions）是一類在數學和工程學中廣泛應用的函數族，其定義與三角函數相似，但基于指數函數構建。以下從漢英對照、數學定義及實際應用三方面進行闡釋：

一、術語對照與核心定義

中文術語“雙曲型函數”對應英文“hyperbolic functions”，兩者均源于其與雙曲線的幾何關系。基礎雙曲函數包括：

雙曲正弦（hyperbolic sine）：$sinh(x) = frac{e^x - e^{-x}}{2}$
雙曲餘弦（hyperbolic cosine）：$cosh(x) = frac{e^x + e^{-x}}{2}$
雙曲正切（hyperbolic tangent）：$tanh(x) = frac{sinh(x)}{cosh(x)}$

二、幾何與物理意義

雙曲函數可描述雙曲線（如$x - y = 1$）的參數方程，類比于三角函數描述單位圓。例如，$cosh(t)$和$sinh(t)$分别對應雙曲線上點的橫縱坐标。在物理學中，懸鍊線方程、狹義相對論中的洛倫茲變換均依賴雙曲函數。

三、工程與計算應用

懸鍊線模型：橋梁纜索的自然下垂形狀由$cosh(x)$函數描述。
信號處理：雙曲正切函數常用于神經網絡激活函數，因其具有平滑的飽和特性。
電磁學：傳輸線方程的解常包含$sinh$和$cosh$項，用于分析波傳播現象。

參考文獻

Weisstein, E. W. "Hyperbolic Functions." MathWorld, mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html
Courant, R., & John, F. (1965). Introduction to Calculus and Analysis. Springer.
Goodfellow, I., et al. (2016). Deep Learning. MIT Press.
Paul, C. R. (2006). Analysis of Multiconductor Transmission Lines. Wiley-IEEE Press.

網絡擴展解釋

雙曲型函數（Hyperbolic Functions）是一類與三角函數形式相似但幾何背景不同的特殊函數，主要應用于數學、物理學和工程學領域。以下是其核心要點：

一、基本定義

雙曲函數通過指數函數定義，最基礎的兩個函數為：

雙曲正弦函數：$sinh x = frac{e^x - e^{-x}}{2}$
雙曲餘弦函數：$cosh x = frac{e^x + e^{-x}}{2}$
其他雙曲函數（如正切、餘切）均由這兩個函數導出，例如雙曲正切：$tanh x = frac{sinh x}{cosh x}$。

二、核心性質

恒等式：$cosh x - sinh x = 1$（類比三角函數的$cos x + sin x = 1$，但符號不同）。
導數特性：
- $frac{d}{dx} sinh x = cosh x$
- $frac{d}{dx} cosh x = sinh x$（與三角函數導數符號規則不同）。
對稱性：$sinh x$為奇函數，$cosh x$為偶函數。

三、幾何意義

雙曲線參數化：點$(cosh t, sinh t)$位于雙曲線$x - y = 1$上，類似三角函數參數化圓上的點。
與三角函數的關系：兩者均滿足微分方程，但雙曲函數對應雙曲線幾何，三角函數對應圓幾何。

四、應用領域

物理學：描述懸鍊線形狀、熱傳導方程的解等。
工程學：用于電磁場理論中的波動方程分析。
相對論：洛倫茲變換中涉及雙曲函數。

五、與三角函數的對比

特性	雙曲函數	三角函數
幾何背景	雙曲線	圓
基本恒等式	$cosh x - sinh x =1$	$cos x + sin x =1$
周期性	無實周期	周期為$2pi$

如需進一步了解具體推導或應用實例，可參考（雙曲函數幾何意義）或（性質證明）。