双曲型函数英文解释翻译、双曲型函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 hyperbolic function

分词翻译：

双的英语翻译：

both; double; even; twin; two; twofold
【化】 dyad
【医】 amb-; ambi-; ambo-; bi-; bis-; di-; diplo-; par

曲的英语翻译：

bend; bent; crooked; melody; music; song; wrong
【化】 distiller's yeast; distillery yeast
【医】 bend; curvatura; curvature; cyrto-; flexura; flexurae; flexure; leaven

型的英语翻译：

model; mould; type
【医】 form; habit; habitus; pattern; series; Ty.; type
【经】 type

函数的英语翻译：

function
【计】 F; FUNC; function

专业解析

双曲型函数（hyperbolic functions）是一类在数学和工程学中广泛应用的函数族，其定义与三角函数相似，但基于指数函数构建。以下从汉英对照、数学定义及实际应用三方面进行阐释：

一、术语对照与核心定义

中文术语“双曲型函数”对应英文“hyperbolic functions”，两者均源于其与双曲线的几何关系。基础双曲函数包括：

双曲正弦（hyperbolic sine）：$sinh(x) = frac{e^x - e^{-x}}{2}$
双曲余弦（hyperbolic cosine）：$cosh(x) = frac{e^x + e^{-x}}{2}$
双曲正切（hyperbolic tangent）：$tanh(x) = frac{sinh(x)}{cosh(x)}$

二、几何与物理意义

双曲函数可描述双曲线（如$x - y = 1$）的参数方程，类比于三角函数描述单位圆。例如，$cosh(t)$和$sinh(t)$分别对应双曲线上点的横纵坐标。在物理学中，悬链线方程、狭义相对论中的洛伦兹变换均依赖双曲函数。

三、工程与计算应用

悬链线模型：桥梁缆索的自然下垂形状由$cosh(x)$函数描述。
信号处理：双曲正切函数常用于神经网络激活函数，因其具有平滑的饱和特性。
电磁学：传输线方程的解常包含$sinh$和$cosh$项，用于分析波传播现象。

参考文献

Weisstein, E. W. "Hyperbolic Functions." MathWorld, mathworld.wolfram.com/HyperbolicFunctions.html
Courant, R., & John, F. (1965). Introduction to Calculus and Analysis. Springer.
Goodfellow, I., et al. (2016). Deep Learning. MIT Press.
Paul, C. R. (2006). Analysis of Multiconductor Transmission Lines. Wiley-IEEE Press.

网络扩展解释

双曲型函数（Hyperbolic Functions）是一类与三角函数形式相似但几何背景不同的特殊函数，主要应用于数学、物理学和工程学领域。以下是其核心要点：

一、基本定义

双曲函数通过指数函数定义，最基础的两个函数为：

双曲正弦函数：$sinh x = frac{e^x - e^{-x}}{2}$
双曲余弦函数：$cosh x = frac{e^x + e^{-x}}{2}$
其他双曲函数（如正切、余切）均由这两个函数导出，例如双曲正切：$tanh x = frac{sinh x}{cosh x}$。

二、核心性质

恒等式：$cosh x - sinh x = 1$（类比三角函数的$cos x + sin x = 1$，但符号不同）。
导数特性：
- $frac{d}{dx} sinh x = cosh x$
- $frac{d}{dx} cosh x = sinh x$（与三角函数导数符号规则不同）。
对称性：$sinh x$为奇函数，$cosh x$为偶函数。

三、几何意义

双曲线参数化：点$(cosh t, sinh t)$位于双曲线$x - y = 1$上，类似三角函数参数化圆上的点。
与三角函数的关系：两者均满足微分方程，但双曲函数对应双曲线几何，三角函数对应圆几何。

四、应用领域

物理学：描述悬链线形状、热传导方程的解等。
工程学：用于电磁场理论中的波动方程分析。
相对论：洛伦兹变换中涉及双曲函数。

五、与三角函数的对比

特性	双曲函数	三角函数
几何背景	双曲线	圆
基本恒等式	$cosh x - sinh x =1$	$cos x + sin x =1$
周期性	无实周期	周期为$2pi$

如需进一步了解具体推导或应用实例，可参考（双曲函数几何意义）或（性质证明）。