求依赖于某些未知函数的泛函数极值的方法。与微分学中函数极值问题相类似。最速降线问题、短程线问题和等周问题等是古典变分学研究的典型问题。
变分法的汉语词典释义与学术解析
一、基本定义
变分法是数学中研究泛函极值问题的分支学科，属于分析学的重要组成。其核心在于通过变分运算，寻找使泛函取得极值的函数。从汉语词源角度看，“变分”源于“变化分析”，特指对函数微小变化的系统性研究（《数学大辞典》，高等教育出版社）。《中国大百科全书·数学卷》将其定义为“处理依赖于未知函数的积分型量极值问题的数学方法”。
二、词源与历史发展
“变分”一词的汉语表述可追溯至20世纪初西方数学著作的译介。该理论起源于18世纪欧拉（Leonhard Euler）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）对最速降线等物理问题的研究，后由希尔伯特（David Hilbert）等人完善为现代变分理论（《科学史词典》，商务印书馆）。
三、核心概念与公式
$$
J[y] = int_{a}^{b} sqrt{1 + (y')} , dx
$$
其极值解满足欧拉-拉格朗日方程。
$$
frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial L}{partial y'} right) = 0
$$
其中( L )为被积函数（《工程数学方法》，科学出版社）。
四、应用领域
五、权威参考文献
变分法是数学分析中研究泛函极值的重要分支，其核心目标是寻找使泛函（函数的函数）取得极值的函数。以下是对其概念的详细解析：
变分法处理的是形如以下形式的泛函极值问题： $$ J[y] = int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) , dx $$ 需要找到函数( y(x) )，使得( J[y] )达到极值（最大值或最小值）。与微积分中求函数极值不同，这里变量是函数本身而非数值。
若泛函( J[y] )的极值存在，则极值函数需满足： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 该方程通过变分原理推导，本质是泛函导数为零的条件。
假设质点从( (0,0) )沿曲线( y(x) )下滑至( (a,b) )，下落时间泛函为： $$ T[y] = int_{0}^{a} frac{sqrt{1 + [y'(x)]}}{sqrt{2g y(x)}} , dx $$ 应用欧拉-拉格朗日方程求解可得曲线为摆线，参数方程： $$ x = r(theta - sintheta), quad y = r(1 - costheta) $$
变分法已衍生至最优控制理论（如火箭轨道优化）、图像处理（分割模型中的能量泛函）等领域，并与偏微分方程、机器学习结合。
总结来看，变分法通过将物理、几何问题转化为数学泛函极值问题，提供了一种普适的解决方案，其思想深刻影响了现代科学与工程学的发展。
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