求依賴于某些未知函數的泛函數極值的方法。與微分學中函數極值問題相類似。最速降線問題、短程線問題和等周問題等是古典變分學研究的典型問題。
變分法的漢語詞典釋義與學術解析
一、基本定義
變分法是數學中研究泛函極值問題的分支學科，屬于分析學的重要組成。其核心在于通過變分運算，尋找使泛函取得極值的函數。從漢語詞源角度看，“變分”源于“變化分析”，特指對函數微小變化的系統性研究（《數學大辭典》，高等教育出版社）。《中國大百科全書·數學卷》将其定義為“處理依賴于未知函數的積分型量極值問題的數學方法”。
二、詞源與曆史發展
“變分”一詞的漢語表述可追溯至20世紀初西方數學著作的譯介。該理論起源于18世紀歐拉（Leonhard Euler）和拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）對最速降線等物理問題的研究，後由希爾伯特（David Hilbert）等人完善為現代變分理論（《科學史詞典》，商務印書館）。
三、核心概念與公式
$$
J[y] = int_{a}^{b} sqrt{1 + (y')} , dx
$$
其極值解滿足歐拉-拉格朗日方程。
$$
frac{partial L}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial L}{partial y'} right) = 0
$$
其中( L )為被積函數（《工程數學方法》，科學出版社）。
四、應用領域
五、權威參考文獻
變分法是數學分析中研究泛函極值的重要分支，其核心目标是尋找使泛函（函數的函數）取得極值的函數。以下是對其概念的詳細解析：
變分法處理的是形如以下形式的泛函極值問題： $$ J[y] = int_{a}^{b} F(x, y(x), y'(x)) , dx $$ 需要找到函數( y(x) )，使得( J[y] )達到極值（最大值或最小值）。與微積分中求函數極值不同，這裡變量是函數本身而非數值。
若泛函( J[y] )的極值存在，則極值函數需滿足： $$ frac{partial F}{partial y} - frac{d}{dx} left( frac{partial F}{partial y'} right) = 0 $$ 該方程通過變分原理推導，本質是泛函導數為零的條件。
假設質點從( (0,0) )沿曲線( y(x) )下滑至( (a,b) )，下落時間泛函為： $$ T[y] = int_{0}^{a} frac{sqrt{1 + [y'(x)]}}{sqrt{2g y(x)}} , dx $$ 應用歐拉-拉格朗日方程求解可得曲線為擺線，參數方程： $$ x = r(theta - sintheta), quad y = r(1 - costheta) $$
變分法已衍生至最優控制理論（如火箭軌道優化）、圖像處理（分割模型中的能量泛函）等領域，并與偏微分方程、機器學習結合。
總結來看，變分法通過将物理、幾何問題轉化為數學泛函極值問題，提供了一種普適的解決方案，其思想深刻影響了現代科學與工程學的發展。
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