階乘幂英文解釋翻譯、階乘幂的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 factorial power

分詞翻譯：

階的英語翻譯：

rank; stairs; steps
【計】 characteristic
【醫】 scala

乘幂的英語翻譯：

power
【計】 exponentiation; power

專業解析

階乘幂（factorial power）是組合數學中的特殊函數，分為上升階乘幂和下降階乘幂兩種形式，主要用于離散數學與特殊多項式的研究。

一、上升階乘幂（Rising Factorial Power）

上升階乘幂定義為連續遞增整數的乘積，符號表示為$x^{overline{n}}$，其數學表達式為： $$ x^{overline{n}} = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) $$ 例如：$3^{overline{4}} = 3 times 4 times 5 times 6 = 360$。該符號由Kramp于1808年首次引入，在排列組合中用于計算帶重複的排列數。

二、下降階乘幂（Falling Factorial Power）

下降階乘幂定義為連續遞減整數的乘積，符號表示為$x^{underline{n}}$，其數學表達式為： $$ x^{underline{n}} = x(x-1)(x-2)cdots(x-n+1) $$ 例如：$5^{underline{3}} = 5 times 4 times 3 = 60$。該形式在組合學中對應無重複排列數，與斯特林數有直接關聯。

三、符號規範與關聯概念

符號差異：部分文獻使用Pochhammer符號$(x)_n$表示上升階乘幂，而另一些文獻将其用于下降階乘幂，需結合上下文辨析（參考《Concrete Mathematics》第47頁）。
生成函數：兩類階乘幂均出現在超幾何函數的級數展開中，如高斯超幾何函數。
離散微積分：下降階乘幂在差分運算中扮演類似幂函數的角色，滿足$Delta x^{underline{n}} = n x^{underline{n-1}}$，對應離散版本的導數規則。

網絡擴展解釋

階乘幂（Factorial power）是數學中與排列、組合密切相關的特殊運算形式，分為上升階乘幂和下降階乘幂兩種類型。以下是詳細解釋：

一、定義與表達式

下降階乘幂（Falling factorial）
符號通常表示為 ( x^{underline{n}} ) 或 ( (x)_n )，定義為：
$$ x^{underline{n}} = x(x-1)(x-2)cdots(x-n+1) $$
例如：( 5^{underline{3}} = 5 times 4 times 3 = 60 )。
上升階乘幂（Rising factorial）
符號常寫作 ( x^{overline{n}} ) 或 ( (x)^{(n)} )，定義為：
$$ x^{overline{n}} = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) $$
例如：( 3^{overline{4}} = 3 times 4 times 5 times 6 = 360 )。

二、與普通階乘的關系

普通階乘 ( n! ) 是下降階乘幂的特例：
( n! = n^{underline{n}} = n(n-1)(n-2)cdots1 )。
上升階乘幂與Gamma函數相關：
( x^{overline{n}} = frac{Gamma(x+n)}{Gamma(x)} )。

三、應用領域

組合數學
- 下降階乘幂直接用于計算排列數：( P(n, k) = n^{underline{k}} )。
- 二項式系數可表示為：( binom{n}{k} = frac{n^{underline{k}}}{k!} )。
差分運算
在離散微積分中，下降階乘幂的差分性質類似連續函數中幂函數的導數：
( Delta x^{underline{n}} = n x^{underline{n-1}} )。
特殊函數與級數
上升階乘幂出現在超幾何函數、貝塞爾函數等展開式中。

四、符號注意事項

不同文獻可能使用不同符號，例如：

下降階乘幂：( (x)_n )（Pochhammer符號有時指上升形式）。
上升階乘幂：( x^{(n)} ) 或 ( langle x rangle_n )。

五、示例對比

類型	表達式	當 ( x=5, n=3 ) 時的值
下降階乘幂	( 5^{underline{3}} )	( 5 times 4 times 3 = 60 )
上升階乘幂	( 5^{overline{3}} )	( 5 times 6 times 7 = 210 )

通過這種結構化的定義和應用場景，階乘幂在離散數學和連續分析中架起了橋梁。