阶乘幂英文解释翻译、阶乘幂的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 factorial power

分词翻译：

阶的英语翻译：

rank; stairs; steps
【计】 characteristic
【医】 scala

乘幂的英语翻译：

power
【计】 exponentiation; power

专业解析

阶乘幂（factorial power）是组合数学中的特殊函数，分为上升阶乘幂和下降阶乘幂两种形式，主要用于离散数学与特殊多项式的研究。

一、上升阶乘幂（Rising Factorial Power）

上升阶乘幂定义为连续递增整数的乘积，符号表示为$x^{overline{n}}$，其数学表达式为： $$ x^{overline{n}} = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) $$ 例如：$3^{overline{4}} = 3 times 4 times 5 times 6 = 360$。该符号由Kramp于1808年首次引入，在排列组合中用于计算带重复的排列数。

二、下降阶乘幂（Falling Factorial Power）

下降阶乘幂定义为连续递减整数的乘积，符号表示为$x^{underline{n}}$，其数学表达式为： $$ x^{underline{n}} = x(x-1)(x-2)cdots(x-n+1) $$ 例如：$5^{underline{3}} = 5 times 4 times 3 = 60$。该形式在组合学中对应无重复排列数，与斯特林数有直接关联。

三、符号规范与关联概念

符号差异：部分文献使用Pochhammer符号$(x)_n$表示上升阶乘幂，而另一些文献将其用于下降阶乘幂，需结合上下文辨析（参考《Concrete Mathematics》第47页）。
生成函数：两类阶乘幂均出现在超几何函数的级数展开中，如高斯超几何函数。
离散微积分：下降阶乘幂在差分运算中扮演类似幂函数的角色，满足$Delta x^{underline{n}} = n x^{underline{n-1}}$，对应离散版本的导数规则。

网络扩展解释

阶乘幂（Factorial power）是数学中与排列、组合密切相关的特殊运算形式，分为上升阶乘幂和下降阶乘幂两种类型。以下是详细解释：

一、定义与表达式

下降阶乘幂（Falling factorial）
符号通常表示为 ( x^{underline{n}} ) 或 ( (x)_n )，定义为：
$$ x^{underline{n}} = x(x-1)(x-2)cdots(x-n+1) $$
例如：( 5^{underline{3}} = 5 times 4 times 3 = 60 )。
上升阶乘幂（Rising factorial）
符号常写作 ( x^{overline{n}} ) 或 ( (x)^{(n)} )，定义为：
$$ x^{overline{n}} = x(x+1)(x+2)cdots(x+n-1) $$
例如：( 3^{overline{4}} = 3 times 4 times 5 times 6 = 360 )。

二、与普通阶乘的关系

普通阶乘 ( n! ) 是下降阶乘幂的特例：
( n! = n^{underline{n}} = n(n-1)(n-2)cdots1 )。
上升阶乘幂与Gamma函数相关：
( x^{overline{n}} = frac{Gamma(x+n)}{Gamma(x)} )。

三、应用领域

组合数学
- 下降阶乘幂直接用于计算排列数：( P(n, k) = n^{underline{k}} )。
- 二项式系数可表示为：( binom{n}{k} = frac{n^{underline{k}}}{k!} )。
差分运算
在离散微积分中，下降阶乘幂的差分性质类似连续函数中幂函数的导数：
( Delta x^{underline{n}} = n x^{underline{n-1}} )。
特殊函数与级数
上升阶乘幂出现在超几何函数、贝塞尔函数等展开式中。

四、符号注意事项

不同文献可能使用不同符号，例如：

下降阶乘幂：( (x)_n )（Pochhammer符号有时指上升形式）。
上升阶乘幂：( x^{(n)} ) 或 ( langle x rangle_n )。

五、示例对比

类型	表达式	当 ( x=5, n=3 ) 时的值
下降阶乘幂	( 5^{underline{3}} )	( 5 times 4 times 3 = 60 )
上升阶乘幂	( 5^{overline{3}} )	( 5 times 6 times 7 = 210 )

通过这种结构化的定义和应用场景，阶乘幂在离散数学和连续分析中架起了桥梁。