定積分英文解釋翻譯、定積分的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 definite integral

分詞翻譯：

定的英語翻譯：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

積分的英語翻譯：

integral
【計】 integral
【化】 integral
【醫】 integration

專業解析

定積分（Definite Integral）是數學分析中描述函數在區間内累積效果的核心概念。從漢英詞典角度解析，"定"對應"definite"，特指積分具有确定的上下限；"積分"對應"integral"，源于拉丁語"integer"（整體），表示對無窮小量的累加過程。

數學定義：

設函數$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，将區間分為$n$個子區間，當子區間寬度$Delta xi$趨近于零時，黎曼和$sum{i=1}^n f(xi_i)Delta xi$的極限稱為定積分，記作： $$ int{a}^{b} f(x) dx = lim{|Delta x| to 0} sum{i=1}^n f(xi_i)Delta x_i $$ 該定義體現微積分基本定理的思想（參考《數學分析》陳紀修著）。

幾何意義：

定積分$int_{a}^{b} f(x) dx$表示曲線$y=f(x)$與直線$x=a$、$x=b$及x軸圍成的有向面積。當$f(x)>0$時對應幾何面積，$f(x)<0$時面積為負值（源自Khan Academy積分教程）。

物理應用：

在工程領域，定積分可計算變速運動的位移（速度函數積分）、變力做功（力函數積分）等實際問題。如物體速度$v(t)$在$[t_1,t2]$内的位移為$int{t_1}^{t_2} v(t)dt$（參考MIT開放式課程《單變量微積分》）。

運算特性：

滿足線性性$int{a}^{b} [αf(x)+βg(x)] dx = αint{a}^{b} f(x)dx + βint{a}^{b} g(x)dx$，區間可加性$int{a}^{c} f(x)dx = int{a}^{b} f(x)dx + int{b}^{c} f(x)dx$，這些性質由黎曼積分定義直接推導得出（見《高等數學》同濟大學版）。

網絡擴展解釋

定積分是微積分中的核心概念之一，主要用于計算函數在某一區間内的累積量（如面積、位移、質量等）。以下是其詳細解釋：

1.定義與數學表達

定積分記為： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$ 其嚴格定義為黎曼極限：将區間 $[a, b]$ 分割為 $n$ 個子區間，每個子區間任取一點 $xi_i$，當子區間長度趨于零時，乘積 $f(xi_i) cdot Delta xi$ 的極限： $$ lim{|Delta x| to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x_i $$

2.幾何意義

曲邊梯形的面積：當 $f(x) geq 0$ 時，定積分表示由曲線 $y=f(x)$、x軸及直線 $x=a$、$x=b$ 圍成的面積。
符號意義：若 $f(x)$ 在區間内部分區域為負，定積分為正負面積的代數和。

3.物理應用

位移：速度函數 $v(t)$ 在時間 $[t_1, t_2]$ 内的積分表示總位移。
變力做功：力 $F(x)$ 沿位移 $[a, b]$ 的積分表示總功。
質量計算：密度函數 $rho(x)$ 在長度區間内的積分給出總質量。

4.計算方法：牛頓-萊布尼茲公式

若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一個原函數（即 $F'(x) = f(x)$），則： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) $$ 這一公式将定積分與不定積分關聯，簡化了計算。

5.存在條件

可積函數：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上連續或僅有有限個間斷點，則定積分存在。
不可積情況：如函數在區間内無限震蕩（如 $f(x)=sin(1/x)$ 在 $x=0$ 附近），可能不可積。

6.與不定積分的區别

定積分：結果為數值，表示區間上的累積量。
不定積分：結果為函數族（原函數集合），形式為 $int f(x) , dx = F(x) + C$。

通過定積分，我們能夠将局部變化（微分）與整體累積（積分）聯繫起來，是解決實際問題的關鍵數學工具。