定积分英文解释翻译、定积分的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 definite integral

分词翻译：

定的英语翻译：

book; order; decide; fix; stable; surely; calm

积分的英语翻译：

integral
【计】 integral
【化】 integral
【医】 integration

专业解析

定积分（Definite Integral）是数学分析中描述函数在区间内累积效果的核心概念。从汉英词典角度解析，"定"对应"definite"，特指积分具有确定的上下限；"积分"对应"integral"，源于拉丁语"integer"（整体），表示对无穷小量的累加过程。

数学定义：

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，将区间分为$n$个子区间，当子区间宽度$Delta xi$趋近于零时，黎曼和$sum{i=1}^n f(xi_i)Delta xi$的极限称为定积分，记作： $$ int{a}^{b} f(x) dx = lim{|Delta x| to 0} sum{i=1}^n f(xi_i)Delta x_i $$ 该定义体现微积分基本定理的思想（参考《数学分析》陈纪修著）。

几何意义：

定积分$int_{a}^{b} f(x) dx$表示曲线$y=f(x)$与直线$x=a$、$x=b$及x轴围成的有向面积。当$f(x)>0$时对应几何面积，$f(x)<0$时面积为负值（源自Khan Academy积分教程）。

物理应用：

在工程领域，定积分可计算变速运动的位移（速度函数积分）、变力做功（力函数积分）等实际问题。如物体速度$v(t)$在$[t_1,t2]$内的位移为$int{t_1}^{t_2} v(t)dt$（参考MIT开放式课程《单变量微积分》）。

运算特性：

满足线性性$int{a}^{b} [αf(x)+βg(x)] dx = αint{a}^{b} f(x)dx + βint{a}^{b} g(x)dx$，区间可加性$int{a}^{c} f(x)dx = int{a}^{b} f(x)dx + int{b}^{c} f(x)dx$，这些性质由黎曼积分定义直接推导得出（见《高等数学》同济大学版）。

网络扩展解释

定积分是微积分中的核心概念之一，主要用于计算函数在某一区间内的累积量（如面积、位移、质量等）。以下是其详细解释：

1.定义与数学表达

定积分记为： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx $$ 其严格定义为黎曼极限：将区间 $[a, b]$ 分割为 $n$ 个子区间，每个子区间任取一点 $xi_i$，当子区间长度趋于零时，乘积 $f(xi_i) cdot Delta xi$ 的极限： $$ lim{|Delta x| to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x_i $$

2.几何意义

曲边梯形的面积：当 $f(x) geq 0$ 时，定积分表示由曲线 $y=f(x)$、x轴及直线 $x=a$、$x=b$ 围成的面积。
符号意义：若 $f(x)$ 在区间内部分区域为负，定积分为正负面积的代数和。

3.物理应用

位移：速度函数 $v(t)$ 在时间 $[t_1, t_2]$ 内的积分表示总位移。
变力做功：力 $F(x)$ 沿位移 $[a, b]$ 的积分表示总功。
质量计算：密度函数 $rho(x)$ 在长度区间内的积分给出总质量。

4.计算方法：牛顿-莱布尼兹公式

若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则： $$ int_{a}^{b} f(x) , dx = F(b) - F(a) $$ 这一公式将定积分与不定积分关联，简化了计算。

5.存在条件

可积函数：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续或仅有有限个间断点，则定积分存在。
不可积情况：如函数在区间内无限震荡（如 $f(x)=sin(1/x)$ 在 $x=0$ 附近），可能不可积。

6.与不定积分的区别

定积分：结果为数值，表示区间上的累积量。
不定积分：结果为函数族（原函数集合），形式为 $int f(x) , dx = F(x) + C$。

通过定积分，我们能够将局部变化（微分）与整体累积（积分）联系起来，是解决实际问题的关键数学工具。