基本對稱函數英文解釋翻譯、基本對稱函數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 elementary symmetric function

分詞翻譯：

基本的英語翻譯：

basic; essence

對稱函數的英語翻譯：

【計】 symmetric function

專業解析

基本對稱函數（Elementary Symmetric Functions）是代數學中對稱多項式的基礎構成單元，指由一組變量通過對稱性生成的特定形式多項式。其核心特征是在變量置換下保持不變，即變量順序的變化不會改變多項式的結果。以變量集合${x_1, x_2, dots, x_n}$為例，第$k$個基本對稱函數$sigma_k$定義為所有可能選取$k$個不同變量乘積的和，數學表達式為： $$ sigmak = sum{1 le i_1 < i_2 < dots < ik le n} x{i1}x{i2}cdots x{i_k} $$ 例如，當$n=3$時，$sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$。

核心應用領域包括：

多項式方程的根與系數關系：通過Vieta公式，多項式根的對稱性可由基本對稱函數直接關聯其系數（來源：Wolfram MathWorld）。
組合數學與不變量理論：對稱函數的結構為研究對稱群作用下的不變量提供了工具（來源：Springer數學百科）。
物理與工程建模：在量子力學和控制系統分析中，對稱多項式用于簡化多維對稱性問題的計算（來源：劍橋大學數學手冊）。

參考來源：

Wolfram MathWorld對對稱多項式的定義與性質分析：https://mathworld.wolfram.com/SymmetricPolynomial.html
Springer出版社《對稱函數與多項式系統》：https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0963-8_2
維基百科“對稱多項式”詞條：https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_polynomial

網絡擴展解釋

基本對稱函數，又稱初等對稱函數，是代數組合學中對稱函數理論的核心概念之一，主要用于描述多元多項式在變量置換下的不變性。以下是詳細解釋：

1.定義

基本對稱函數是一類特殊的對稱多項式，由給定變量的所有可能組合的乘積之和構成。對于$n$個變量$x_1, x_2, dots, x_n$，第$k$個基本對稱函數$e_k$定義為： $$ e_k(x_1, dots, xn) = sum{1 leq i_1 < i_2 < dots < ik leq n} x{i1}x{i2}cdots x{i_k}} $$ 其中$k$的取值範圍為$1 leq k leq n$，且$e_0=1$。

2.示例

以三個變量$x_1, x_2, x_3$為例：

$e_1 = x_1 + x_2 + x_3$，
$e_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$，
$e_3 = x_1x_2x_3$。

這些函數在變量置換後保持不變，例如交換$x_1$和$x_2$，$e_2$的值仍為$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$。

3.重要性

基本對稱函數是構建更複雜對稱多項式的基礎。根據對稱多項式基本定理，任何對稱多項式均可唯一表示為初等對稱函數的多項式組合。例如，平方和$(x_1 + x_2 + x_3)$可表示為$e_1 - 2e_2$。

4.應用領域

代數組合學：研究對稱群的結構與性質。
數學物理：在表示論、量子場論中用于描述對稱性。
方程理論：多項式方程的根與系數關系（如Vieta公式）即通過初等對稱函數表達。

5.擴展閱讀

若需更深入的組合性質或與其他對稱函數（如幂和對稱函數）的關系，可參考代數組合學教材或專業文獻。