基本对称函数英文解释翻译、基本对称函数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 elementary symmetric function

分词翻译：

基本的英语翻译：

basic; essence

对称函数的英语翻译：

【计】 symmetric function

专业解析

基本对称函数（Elementary Symmetric Functions）是代数学中对称多项式的基础构成单元，指由一组变量通过对称性生成的特定形式多项式。其核心特征是在变量置换下保持不变，即变量顺序的变化不会改变多项式的结果。以变量集合${x_1, x_2, dots, x_n}$为例，第$k$个基本对称函数$sigma_k$定义为所有可能选取$k$个不同变量乘积的和，数学表达式为： $$ sigmak = sum{1 le i_1 < i_2 < dots < ik le n} x{i1}x{i2}cdots x{i_k} $$ 例如，当$n=3$时，$sigma_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$。

核心应用领域包括：

多项式方程的根与系数关系：通过Vieta公式，多项式根的对称性可由基本对称函数直接关联其系数（来源：Wolfram MathWorld）。
组合数学与不变量理论：对称函数的结构为研究对称群作用下的不变量提供了工具（来源：Springer数学百科）。
物理与工程建模：在量子力学和控制系统分析中，对称多项式用于简化多维对称性问题的计算（来源：剑桥大学数学手册）。

参考来源：

Wolfram MathWorld对对称多项式的定义与性质分析：https://mathworld.wolfram.com/SymmetricPolynomial.html
Springer出版社《对称函数与多项式系统》：https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0963-8_2
维基百科“对称多项式”词条：https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_polynomial

网络扩展解释

基本对称函数，又称初等对称函数，是代数组合学中对称函数理论的核心概念之一，主要用于描述多元多项式在变量置换下的不变性。以下是详细解释：

1.定义

基本对称函数是一类特殊的对称多项式，由给定变量的所有可能组合的乘积之和构成。对于$n$个变量$x_1, x_2, dots, x_n$，第$k$个基本对称函数$e_k$定义为： $$ e_k(x_1, dots, xn) = sum{1 leq i_1 < i_2 < dots < ik leq n} x{i1}x{i2}cdots x{i_k}} $$ 其中$k$的取值范围为$1 leq k leq n$，且$e_0=1$。

2.示例

以三个变量$x_1, x_2, x_3$为例：

$e_1 = x_1 + x_2 + x_3$，
$e_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$，
$e_3 = x_1x_2x_3$。

这些函数在变量置换后保持不变，例如交换$x_1$和$x_2$，$e_2$的值仍为$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$。

3.重要性

基本对称函数是构建更复杂对称多项式的基础。根据对称多项式基本定理，任何对称多项式均可唯一表示为初等对称函数的多项式组合。例如，平方和$(x_1 + x_2 + x_3)$可表示为$e_1 - 2e_2$。

4.应用领域

代数组合学：研究对称群的结构与性质。
数学物理：在表示论、量子场论中用于描述对称性。
方程理论：多项式方程的根与系数关系（如Vieta公式）即通过初等对称函数表达。

5.扩展阅读

若需更深入的组合性质或与其他对称函数（如幂和对称函数）的关系，可参考代数组合学教材或专业文献。