群計數法英文解釋翻譯、群計數法的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 group counting method

分詞翻譯：

群的英語翻譯：

bevy; caboodle; clot; cluster; covey; flock; gang; group; horde; knot; swarm
throng; troop
【醫】 group; herd

計數法的英語翻譯：

【計】 counting process
【經】 notation

專業解析

群計數法（Group Counting Method）是組合數學與群論交叉領域中的一種計數技術，主要用于解決具有對稱性結構的複雜排列組合問題。其核心思想是通過群作用（group action）将對稱性轉化為等價類劃分，從而減少重複計算并提高效率。在漢英詞典中，該術語可譯為“Group Counting Method”或“Orbit-Stabilizer Counting Technique”。

1.理論基礎

群計數法基于群論中的軌道-穩定化子定理（Orbit-Stabilizer Theorem），公式表達為： $$ |G| = |text{Orb}(x)| cdot |text{Stab}(x)| $$ 其中，$|G|$表示群的大小，$|text{Orb}(x)|$為元素$x$在群作用下的軌道大小，$|text{Stab}(x)|$為穩定化子群的大小。這一公式為對稱性結構中的等價類計數提供了數學基礎。

2.應用場景

該方法廣泛應用于化學晶體結構分析、密碼學中的置換網絡設計，以及計算機科學中的圖同構判定問題。例如，在化學中，通過群計數法可快速計算分子對稱操作下的異構體數目。

3.經典案例

以正四面體的塗色問題為例：若用3種顔色塗色，考慮旋轉對稱性後，實際不同的塗色方案可通過Burnside引理（群計數法的具體實現）計算為： $$ frac{1}{|G|} sum_{g in G} text{fix}(g) $$ 其中$|G|=12$（正四面體的對稱群階數），最終可得15種本質不同的塗色方式。

4.擴展方法

Pólya計數定理進一步推廣了群計數法，引入生成函數對帶權重的複雜結構進行計數，成為組合枚舉問題的核心工具之一。相關理論在《Enumerative Combinatorics》（Stanley著）等權威著作中有系統闡述。

網絡擴展解釋

群計數法（或按群計數）是一種通過分組方式進行高效統計的方法，其核心在于将個體按特定标準分群後整體計數，而非逐一計算。以下是詳細解釋：

一、基本概念

定義
群計數法指将大量數據按固定數量或特征劃分為多個群體，以“群”為單位進行計數。例如，以5個為一群計數（如“正”字筆畫統計），或按年齡、職業等特征分組統計。
與逐一計數的區别
傳統計數是逐一點數（如數1、2、3...），而群計數通過分群簡化流程，例如直接數“5、10、15...”。

二、應用場景

基礎數學教育
幫助兒童理解倍數關系，如通過5個一數、10個一數建立數感。
數據統計與分析
- 人口統計：按年齡、性别等分群統計人口數量。
- 市場調查：按消費習慣、收入水平等劃分用戶群體并計數。
- 生物研究：統計不同物種或特征群體的個體數量。

三、典型示例

“正”字計數法：每筆代表1，一個“正”字共5筆，快速統計投票或數量。
分群統計公式：若每群含$k$個個體，總群數為$n$，則總數$N = k times n$（適用于均勻分群場景）。

四、注意事項

分群标準需明确：需根據目标選擇合理的分群依據（如固定數量或特征）。
可能存在誤差：若群體内個體數不均，需配合其他方法校準。

若需了解組合數學中的排列組合公式（如$A_n^m$），可參考其他數學資料。