矩陣疊代英文解釋翻譯、矩陣疊代的近義詞、反義詞、例句
英語翻譯：
【計】 matrix iteration
分詞翻譯：
矩陣的英語翻譯：
matrix
【計】 matrix
【化】 matrix
【經】 matrices; matrix
疊代的英語翻譯：
【計】 iterate; iteration
專業解析
矩陣疊代（Matrix Iteration）是一種通過重複應用矩陣運算逼近數學解的數值計算方法，廣泛應用于線性方程組求解、特征值計算和動态系統分析等領域。該術語對應的英文為"matrix iteration"，其核心思想是利用初始向量與系數矩陣的連續乘積生成收斂序列，最終獲得穩定解或特征向量。
從數學詞典定義角度，矩陣疊代包含三個關鍵要素：
- 系數矩陣：作為運算核心的n×n方陣A，其性質決定疊代收斂性
- 疊代格式：基本公式為$x^{(k+1)} = Ax^{(k)} + b$，適用于線性方程組Ax=b求解
- 收斂條件：當譜半徑ρ(A)<1時，序列必收斂于精确解（參考《數值分析基礎》定理4.3）
在工程計算實踐中，該方法常用于：
- 電力系統潮流計算中的節點電壓疊代
- 結構力學有限元分析
- Google PageRank算法中的網頁權重計算（見《矩陣計算與工程應用》第7章）
權威文獻建議采用預處理技術提升收斂速度，例如通過Jacobi預處理或不完全LU分解改善矩陣條件數（《科學計算中的疊代方法》Springer出版）。IEEE Transactions on Power Systems中多個研究案例證實，矩陣疊代法在稀疏矩陣處理效率上較直接法提升40%以上。
網絡擴展解釋
矩陣疊代是一種基于重複應用矩陣運算的數值方法，主要用于求解線性方程組、特征值問題或優化計算等。其核心思想是通過逐步逼近的方式獲得問題的解。以下是關鍵點的分步解釋：
1.基本概念
矩陣疊代通過構造疊代公式 ( mathbf{x}^{(k+1)} = Bmathbf{x}^{(k)} + mathbf{c} ) 進行，其中：
- ( B ) 為疊代矩陣（由原矩陣分解或變換得到）；
- ( mathbf{x}^{(k)} ) 為第 ( k ) 次疊代的近似解；
- 收斂性取決于 ( B ) 的譜半徑（即最大特征值的模）是否小于 1。
2.常見方法
- 雅可比疊代：将矩陣分解為對角矩陣 ( D ) 和剩餘部分 ( R )，疊代公式為 ( mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}(Rmathbf{x}^{(k)} + mathbf{b}) )。
- 高斯-塞德爾疊代：改進雅可比法，利用已更新的分量加速收斂，公式為 ( xi^{(k+1)} = frac{1}{a{ii}} left( bi - sum{j=1}^{i-1} a_{ij}xj^{(k+1)} - sum{j=i+1}^n a_{ij}x_j^{(k)} right) )。
- 幂法（Power Iteration）：用于求主特征值，通過 ( mathbf{v}^{(k+1)} = Amathbf{v}^{(k)} / |Amathbf{v}^{(k)}| ) 疊代逼近特征向量。
3.應用場景
- 大型稀疏線性方程組：如有限元分析中的偏微分方程求解；
- PageRank 算法：通過疊代計算網頁權重；
- 圖像處理：如疊代優化矩陣表示的圖像去噪。
4.收斂性與停止條件
- 當疊代矩陣的譜半徑 ( rho(B) < 1 ) 時，算法收斂；
- 常用停止準則：( |mathbf{x}^{(k+1)} - mathbf{x}^{(k)}| < epsilon ) 或達到最大疊代次數。
5.優缺點
- 優點：内存占用低（適合大規模問題），實現簡單；
- 缺點：收斂速度可能較慢（尤其對病态矩陣），需依賴初始猜測。
例如，用高斯-塞德爾疊代解方程組時，每次疊代利用最新計算的分量，比雅可比法更快收斂。而幂法則通過反複左乘矩陣，使向量逐漸對齊主特征方向。實際應用中需根據問題特性選擇合適方法，并結合預處理技術提升效率。
分類
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
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