矩阵迭代英文解释翻译、矩阵迭代的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 matrix iteration

分词翻译：

矩阵的英语翻译：

matrix
【计】 matrix
【化】 matrix
【经】 matrices; matrix

迭代的英语翻译：

【计】 iterate; iteration

专业解析

矩阵迭代（Matrix Iteration）是一种通过重复应用矩阵运算逼近数学解的数值计算方法，广泛应用于线性方程组求解、特征值计算和动态系统分析等领域。该术语对应的英文为"matrix iteration"，其核心思想是利用初始向量与系数矩阵的连续乘积生成收敛序列，最终获得稳定解或特征向量。

从数学词典定义角度，矩阵迭代包含三个关键要素：

1. 系数矩阵：作为运算核心的n×n方阵A，其性质决定迭代收敛性
2. 迭代格式：基本公式为$x^{(k+1)} = Ax^{(k)} + b$，适用于线性方程组Ax=b求解
3. 收敛条件：当谱半径ρ(A)<1时，序列必收敛于精确解（参考《数值分析基础》定理4.3）

在工程计算实践中，该方法常用于：

• 电力系统潮流计算中的节点电压迭代
• 结构力学有限元分析
• Google PageRank算法中的网页权重计算（见《矩阵计算与工程应用》第7章）

权威文献建议采用预处理技术提升收敛速度，例如通过Jacobi预处理或不完全LU分解改善矩阵条件数（《科学计算中的迭代方法》Springer出版）。IEEE Transactions on Power Systems中多个研究案例证实，矩阵迭代法在稀疏矩阵处理效率上较直接法提升40%以上。

网络扩展解释

矩阵迭代是一种基于重复应用矩阵运算的数值方法，主要用于求解线性方程组、特征值问题或优化计算等。其核心思想是通过逐步逼近的方式获得问题的解。以下是关键点的分步解释：

1.基本概念

矩阵迭代通过构造迭代公式 ( mathbf{x}^{(k+1)} = Bmathbf{x}^{(k)} + mathbf{c} ) 进行，其中：

• ( B ) 为迭代矩阵（由原矩阵分解或变换得到）；
• ( mathbf{x}^{(k)} ) 为第 ( k ) 次迭代的近似解；
• 收敛性取决于 ( B ) 的谱半径（即最大特征值的模）是否小于 1。

2.常见方法

• 雅可比迭代：将矩阵分解为对角矩阵 ( D ) 和剩余部分 ( R )，迭代公式为 ( mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}(Rmathbf{x}^{(k)} + mathbf{b}) )。
• 高斯-塞德尔迭代：改进雅可比法，利用已更新的分量加速收敛，公式为 ( xi^{(k+1)} = frac{1}{a{ii}} left( bi - sum{j=1}^{i-1} a_{ij}xj^{(k+1)} - sum{j=i+1}^n a_{ij}x_j^{(k)} right) )。
• 幂法（Power Iteration）：用于求主特征值，通过 ( mathbf{v}^{(k+1)} = Amathbf{v}^{(k)} / |Amathbf{v}^{(k)}| ) 迭代逼近特征向量。

3.应用场景

• 大型稀疏线性方程组：如有限元分析中的偏微分方程求解；
• PageRank 算法：通过迭代计算网页权重；
• 图像处理：如迭代优化矩阵表示的图像去噪。

4.收敛性与停止条件

• 当迭代矩阵的谱半径 ( rho(B) < 1 ) 时，算法收敛；
• 常用停止准则：( |mathbf{x}^{(k+1)} - mathbf{x}^{(k)}| < epsilon ) 或达到最大迭代次数。

5.优缺点

• 优点：内存占用低（适合大规模问题），实现简单；
• 缺点：收敛速度可能较慢（尤其对病态矩阵），需依赖初始猜测。

例如，用高斯-塞德尔迭代解方程组时，每次迭代利用最新计算的分量，比雅可比法更快收敛。而幂法则通过反复左乘矩阵，使向量逐渐对齐主特征方向。实际应用中需根据问题特性选择合适方法，并结合预处理技术提升效率。

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