極限的英文解釋翻譯、極限的的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

last-ditch; ultimate
【經】 ultimate

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

在漢英詞典中，"極限的"作為形容詞對應英文翻譯為"limit"或"ultimate"，其核心意義指事物發展過程中不可超越的最大邊界值或最終狀态。根據學科領域可細分為以下解釋：

數學概念
指函數或序列無限趨近但無法達到的确定值，例如微積分中的$lim_{x to a} f(x) = L$。該定義源自《牛津高階英漢雙解詞典》對"limit"的解析，強調其作為變量變化終極狀态的理論特性。
物理工程應用
表示材料承受載荷的臨界點，如"極限強度(ultimate strength)"特指材料斷裂前的最大應力值。該用法在《柯林斯COBUILD高級英漢雙解詞典》中被标注為工程學術語，具有可量化的實驗數據支撐。
日常用語延伸
在生活場景中描述能力或條件的最大範圍，如"挑戰身體極限"對應英文"push physical limits"。韋氏詞典指出該詞根源于拉丁語"limes"，原指羅馬帝國的邊境圍欄，後引申為抽象邊界概念。
哲學維度
《大英百科全書》收錄了其在認識論中的特殊含義，指人類認知能力與客觀真理之間的永恒距離，這種不可逾越性構成哲學思辨的重要命題。

關于“極限”一詞的詳細解釋如下：

核心定義
極限是描述變量在無限趨近某個目标時，其對應函數值或數列項的變化趨勢。例如：
- 數列極限：當項數$n$無限增大時，若數列$an$無限接近常數$L$，則稱$L$為數列的極限，記為$lim{n to infty} an = L$。如$lim{n to infty} frac{1}{n} = 0$。
- 函數極限：當自變量$x$趨近于某點$a$（或無窮大）時，若函數$f(x)$的值趨近于常數$L$，則稱$L$為函數在$x to a$時的極限，記為$lim{x to a} f(x) = L$。例如$lim{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$。
嚴格數學表述（ε-δ語言）
對任意小正數$varepsilon$，存在對應的$delta$（或$N$），使得當$0 < |x-a| < delta$（或$n > N$）時，$|f(x)-L| < varepsilon$成立。這種定義确保了極限的精确性。
應用領域
極限是微積分的基石，用于定義導數（瞬時變化率）和積分（面積累積），例如：
- 導數：$f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
- 積分：$inta^b f(x)dx = lim{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x$

指事物能達到的最大邊界或不可逾越的臨界點，例如：

象征對未知領域的探索，如“挑戰認知極限”指突破思維框架；在工程中，“安全極限”指系統設計的容錯阈值。

如需進一步了解數學極限的證明方法（如夾逼定理、單調收斂定理）或具體應用場景，可提供更具體的方向以便補充說明。