极限的英文解释翻译、极限的的近义词、反义词、例句

英语翻译：

last-ditch; ultimate
【经】 ultimate

limit; terminal; the maximum; utmost
【化】 limit(ing) point

在汉英词典中，"极限的"作为形容词对应英文翻译为"limit"或"ultimate"，其核心意义指事物发展过程中不可超越的最大边界值或最终状态。根据学科领域可细分为以下解释：

数学概念
指函数或序列无限趋近但无法达到的确定值，例如微积分中的$lim_{x to a} f(x) = L$。该定义源自《牛津高阶英汉双解词典》对"limit"的解析，强调其作为变量变化终极状态的理论特性。
物理工程应用
表示材料承受载荷的临界点，如"极限强度(ultimate strength)"特指材料断裂前的最大应力值。该用法在《柯林斯COBUILD高级英汉双解词典》中被标注为工程学术语，具有可量化的实验数据支撑。
日常用语延伸
在生活场景中描述能力或条件的最大范围，如"挑战身体极限"对应英文"push physical limits"。韦氏词典指出该词根源于拉丁语"limes"，原指罗马帝国的边境围栏，后引申为抽象边界概念。
哲学维度
《大英百科全书》收录了其在认识论中的特殊含义，指人类认知能力与客观真理之间的永恒距离，这种不可逾越性构成哲学思辨的重要命题。

关于“极限”一词的详细解释如下：

核心定义
极限是描述变量在无限趋近某个目标时，其对应函数值或数列项的变化趋势。例如：
- 数列极限：当项数$n$无限增大时，若数列$an$无限接近常数$L$，则称$L$为数列的极限，记为$lim{n to infty} an = L$。如$lim{n to infty} frac{1}{n} = 0$。
- 函数极限：当自变量$x$趋近于某点$a$（或无穷大）时，若函数$f(x)$的值趋近于常数$L$，则称$L$为函数在$x to a$时的极限，记为$lim{x to a} f(x) = L$。例如$lim{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$。
严格数学表述（ε-δ语言）
对任意小正数$varepsilon$，存在对应的$delta$（或$N$），使得当$0 < |x-a| < delta$（或$n > N$）时，$|f(x)-L| < varepsilon$成立。这种定义确保了极限的精确性。
应用领域
极限是微积分的基石，用于定义导数（瞬时变化率）和积分（面积累积），例如：
- 导数：$f'(a) = lim_{h to 0} frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
- 积分：$inta^b f(x)dx = lim{n to infty} sum_{i=1}^n f(x_i^*) Delta x$

指事物能达到的最大边界或不可逾越的临界点，例如：

象征对未知领域的探索，如“挑战认知极限”指突破思维框架；在工程中，“安全极限”指系统设计的容错阈值。

如需进一步了解数学极限的证明方法（如夹逼定理、单调收敛定理）或具体应用场景，可提供更具体的方向以便补充说明。