偏導數英文解釋翻譯、偏導數的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 partial derivative

分詞翻譯：

偏的英語翻譯：

deflection; leaning; partial; prejudiced; slanting
【化】 meta-
【醫】 meta-

導數的英語翻譯：

【化】 derivative

專業解析

偏導數是多變量微積分中的核心概念，用于描述函數在某一方向上的局部變化率。當函數( f(x_1,x_2,…,x_n) )包含多個自變量時，偏導數(frac{partial f}{partial x_i})表示僅對第(i)個變量求導，而其他變量保持恒定。例如，在物理學中，溫度場( T(x,y,z,t) )對時間的偏導數(frac{partial T}{partial t})可描述某一點溫度隨時間的變化，忽略空間坐标的影響。

符號與計算規則

偏導數的标準符號為(partial)（讀作“partial”），其計算規則與單變量導數類似，但需固定其他變量。例如，函數( f(x,y)=xy + sin(y) )對(x)的偏導數為(frac{partial f}{partial x}=2xy)，而對(y)的偏導數為(frac{partial f}{partial y}=x + cos(y))。

應用領域

工程學：用于熱傳導方程、流體力學中的納維-斯托克斯方程建模。
經濟學：邊際成本分析中，偏導數可量化某一生産要素單獨變化時的成本響應。
機器學習：梯度下降算法依賴偏導數計算損失函數的優化方向。

幾何意義

幾何上，偏導數表示多維空間曲面在坐标軸方向上的切線斜率。例如，( z=f(x,y) )在點( (a,b) )處對(x)的偏導數(frac{partial f}{partial x}bigg|_{(a,b)})對應曲面在該點沿(x)軸方向的傾斜程度。

網絡擴展解釋

偏導數是多元函數微分學中的核心概念，用于描述函數在某一變量方向上的局部變化率。以下是詳細解析：

一、數學定義對二元函數 ( z = f(x,y) )，在點 ( (x_0,y_0) ) 處：

對x的偏導數： $$ frac{partial f}{partial x} bigg|_{(x_0,y0)} = lim{Delta x to 0} frac{f(x_0+Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Delta x} $$
對y的偏導數同理，保持x固定後求導

二、幾何意義在三維坐标系中：

(frac{partial f}{partial x}) 對應曲面在x軸方向的切線斜率
(frac{partial f}{partial y}) 對應曲面在y軸方向的切線斜率

三、重要特性

可偏導不一定連續（如分段函數在分界點處）
二階混合偏導數在連續條件下相等（Clairaut定理）
梯度向量由各偏導數構成：( abla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}) )

四、應用場景

物理學中的場論（溫度場、電磁場）
經濟學中的邊際效用分析
機器學習中的梯度下降優化
熱傳導方程等偏微分方程

示例：對 ( f(x,y) = xy + sin y )：

( frac{partial f}{partial x} = 2xy )（将y視為常數）
( frac{partial f}{partial y} = x + cos y )（将x視為常數）

理解偏導數是掌握多元微積分、優化算法及現代科學計算的基礎，其核心思想在于"控制變量"的研究方法。