偏导数英文解释翻译、偏导数的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 partial derivative

分词翻译：

偏的英语翻译：

deflection; leaning; partial; prejudiced; slanting
【化】 meta-
【医】 meta-

导数的英语翻译：

【化】 derivative

专业解析

偏导数是多变量微积分中的核心概念，用于描述函数在某一方向上的局部变化率。当函数( f(x_1,x_2,…,x_n) )包含多个自变量时，偏导数(frac{partial f}{partial x_i})表示仅对第(i)个变量求导，而其他变量保持恒定。例如，在物理学中，温度场( T(x,y,z,t) )对时间的偏导数(frac{partial T}{partial t})可描述某一点温度随时间的变化，忽略空间坐标的影响。

符号与计算规则

偏导数的标准符号为(partial)（读作“partial”），其计算规则与单变量导数类似，但需固定其他变量。例如，函数( f(x,y)=xy + sin(y) )对(x)的偏导数为(frac{partial f}{partial x}=2xy)，而对(y)的偏导数为(frac{partial f}{partial y}=x + cos(y))。

应用领域

工程学：用于热传导方程、流体力学中的纳维-斯托克斯方程建模。
经济学：边际成本分析中，偏导数可量化某一生产要素单独变化时的成本响应。
机器学习：梯度下降算法依赖偏导数计算损失函数的优化方向。

几何意义

几何上，偏导数表示多维空间曲面在坐标轴方向上的切线斜率。例如，( z=f(x,y) )在点( (a,b) )处对(x)的偏导数(frac{partial f}{partial x}bigg|_{(a,b)})对应曲面在该点沿(x)轴方向的倾斜程度。

网络扩展解释

偏导数是多元函数微分学中的核心概念，用于描述函数在某一变量方向上的局部变化率。以下是详细解析：

一、数学定义对二元函数 ( z = f(x,y) )，在点 ( (x_0,y_0) ) 处：

对x的偏导数： $$ frac{partial f}{partial x} bigg|_{(x_0,y0)} = lim{Delta x to 0} frac{f(x_0+Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Delta x} $$
对y的偏导数同理，保持x固定后求导

二、几何意义在三维坐标系中：

(frac{partial f}{partial x}) 对应曲面在x轴方向的切线斜率
(frac{partial f}{partial y}) 对应曲面在y轴方向的切线斜率

三、重要特性

可偏导不一定连续（如分段函数在分界点处）
二阶混合偏导数在连续条件下相等（Clairaut定理）
梯度向量由各偏导数构成：( abla f = (frac{partial f}{partial x}, frac{partial f}{partial y}) )

四、应用场景

物理学中的场论（温度场、电磁场）
经济学中的边际效用分析
机器学习中的梯度下降优化
热传导方程等偏微分方程

示例：对 ( f(x,y) = xy + sin y )：

( frac{partial f}{partial x} = 2xy )（将y视为常数）
( frac{partial f}{partial y} = x + cos y )（将x视为常数）

理解偏导数是掌握多元微积分、优化算法及现代科学计算的基础，其核心思想在于"控制变量"的研究方法。