微分的意思、微分的详细解释

微分的解释

[differentiation] 指微分的运算过程或结果:如求函数的导数的过程或结果

稍稍看清楚。宋司马光 《又和早春夜雪》诗：“玉巵深可敌，银烛近微分。”

(1).卑微的名分。《宋书·刘式之传》：“ 刘式之於国家粗有微分，偷数百万钱何有，况不偷邪！”

(2).微薄的情分。元关汉卿 《谢天香》第一折：“你覰他交椅上抬頦样儿，待的你不同前次，他则是微分间，将表字呼之。”

微的解释微 ē 小，细小：细微。轻微。微小。微型。微观。微雕。微积分。微电脑。微量元素。谨小慎微。微乎其微。少；稍：稍微。微笑。微调（俹）。衰落；低下：卑微。微贱。精深；精妙：微妙。精微。微言大义。
分的解释分 ē 区划开：分开。划分。分野（划分的范围）。分界。分明。条分缕析。分解。由整体中取出或产生出一部分：分发。分忧。分心劳神。由机构内独立出的部分：分会。分行（俷）。散，离：分裂。分离。分别。

微分是数学分析中的核心概念，指函数在某一点处局部变化的线性近似。根据《现代汉语词典》（第七版），微分描述的是“函数增量中与自变量增量成比例的部分”。《辞海》（第七版）将其定义为“函数改变量的线性主部”，即当自变量发生微小变化时，微分可代替复杂的函数变化量进行计算。

在学术定义层面，《数学分析》教材指出：若函数( y = f(x) )在点( x_0 )可导，其微分表达式为： $$ dy = f'(x_0)dx $$ 其中( dx )表示自变量的微分，( dy )则是函数值的微分，二者通过导数( f'(x_0) )建立线性关系。

微分理论的实际应用涵盖多个领域，《工程数学手册》记载其在物理学中用于计算瞬时速度，在工程学中用于误差估计，在经济学中则用于边际效应分析。《中国大百科全书·数学卷》特别强调，微分方程作为微分的扩展形式，已成为描述自然规律的重要工具。

微分是微积分中的核心概念，主要描述函数在局部范围内的线性近似变化，通常与导数密切相关。以下是其详细解释：

微分是函数在某一点附近的变化量的线性近似。对于函数 ( y = f(x) )，若其在点 ( x_0 ) 处可导，则微分 ( dy ) 定义为： $$ dy = f'(x_0) cdot dx $$ 其中：

微分在几何上表示函数图像在点 ( (x_0, f(x_0)) ) 处切线的纵向变化量。当 ( dx ) 很小时，实际变化量 ( Delta y ) 与微分 ( dy ) 的误差可以忽略，即 ( Delta y approx dy )。

函数 ( y = x ) 的微分为 ( dy = 2x , dx )。当 ( x = 3 )、( dx = 0.1 ) 时，微分 ( dy = 0.6 )，而实际变化量 ( Delta y = (3.1) - 3 = 0.61 )，两者非常接近。

通过微分，我们能用简单的线性关系替代复杂函数的局部行为，这是微积分解决实际问题的关键工具。