德摩根定理英文解釋翻譯、德摩根定理的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 DeMorgan's theorem

分詞翻譯：

德的英語翻譯：

heart; mind; morals; virtue

摩的英語翻譯：

rub; scrape; stroke

根的英語翻譯：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【醫】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

定理的英語翻譯：

theorem
【化】 theorem
【醫】 theorem

專業解析

德摩根定理（De Morgan's Laws）是邏輯學與集合論中的核心定律，揭示了邏輯運算符"與""或""非"之間的轉換關系。該定理由英國數學家奧古斯都·德摩根于19世紀提出，在數字電路設計、計算機編程和概率論中具有重要應用。

一、定理的雙重表述

邏輯非的分配律
對于任意命題A和B：

$ eg(A land B) equiv eg A lor eg B$

英文對應：The negation of a conjunction is the disjunction of the negations.
集合補運算的交互律
對于集合A和B：

$(A cap B)^c = A^c cup B^c$

英文對應：The complement of the intersection is the union of the complements。

二、延伸定律

第二定律通過運算符置換實現對稱表述：

$ eg(A lor B) equiv eg A land eg B$

對應的集合表達式為：

$(A cup B)^c = A^c cap B^c$

三、工程應用實例

在數字邏輯設計中，該定理可直接優化電路結構。例如與門級聯的非運算可轉換為非門并聯結構，這種轉換能減少芯片晶體管數量。美國電氣電子工程師學會（IEEE）标準754浮點運算規範中即包含相關應用。

數學基礎文獻可參考《離散數學及其應用》（Discrete Mathematics and Its Applications）第8章命題邏輯部分，集合論證明過程詳見劍橋大學數學系公開課程講義CM10124。

網絡擴展解釋

德摩根定理（De Morgan's Laws）是邏輯學和集合論中的重要定律，用于描述邏輯運算中“非（¬）”與“或（∨）”“與（∧）”之間的轉換關系，以及集合論中補集、并集和交集的對應關系。其核心思想是否定複合命題時，需同時對内部命題進行否定并轉換運算符。

德摩根定理的兩個基本形式

邏輯非對“與”的分配
$$¬(A ∧ B) equiv ¬A ∨ ¬B$$
即：“非（A且B）”等價于“非A或非B”。
示例：若“今天不下雨且不刮風”，則其否定是“今天下雨或刮風”（至少滿足其一即成立）。
邏輯非對“或”的分配
$$¬(A ∨ B) equiv ¬A ∧ ¬B$$
即：“非（A或B）”等價于“非A且非B”。
示例：若“明天開會或放假”，則其否定是“明天不開會且不放假”（兩者同時不成立）。

集合論中的對應關系

在集合論中，德摩根定理表現為補集與并集、交集的轉換：

補集對并集的分配
$$overline{A ∪ B} = overline{A} ∩ overline{B}$$
全集中的非（A并B）等于非A交非B。
補集對交集的分配
$$overline{A ∩ B} = overline{A} ∪ overline{B}$$
全集中的非（A交B）等于非A并非B。

應用場景

數字電路設計：用于簡化邏輯門電路，例如将與非門（NAND）轉換為或非門（NOR）的組合。
編程條件優化：簡化複雜條件判斷，如将 !(a && b) 改寫為 !a || !b。
數學證明：在命題邏輯和集合運算中分解複雜表達式。

注意事項

轉換時必須同時否定所有子命題并交換運算符類型（“與”變“或”，“或”變“與”）。
運算順序需保留原表達式中的括號，避免錯誤轉換。

通過德摩根定理，可以更靈活地處理邏輯表達式，并在工程、數學和計算機科學中提高效率。