德摩根定理英文解释翻译、德摩根定理的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 DeMorgan's theorem

分词翻译：

德的英语翻译：

heart; mind; morals; virtue

摩的英语翻译：

rub; scrape; stroke

根的英语翻译：

base; cause; foot; origin; radix; root; source
【化】 radical
【医】 rad.; radical; radices; radix; rhizo-; root

定理的英语翻译：

theorem
【化】 theorem
【医】 theorem

专业解析

德摩根定理（De Morgan's Laws）是逻辑学与集合论中的核心定律，揭示了逻辑运算符"与""或""非"之间的转换关系。该定理由英国数学家奥古斯都·德摩根于19世纪提出，在数字电路设计、计算机编程和概率论中具有重要应用。

一、定理的双重表述

逻辑非的分配律
对于任意命题A和B：

$ eg(A land B) equiv eg A lor eg B$

英文对应：The negation of a conjunction is the disjunction of the negations.
集合补运算的交互律
对于集合A和B：

$(A cap B)^c = A^c cup B^c$

英文对应：The complement of the intersection is the union of the complements。

二、延伸定律

第二定律通过运算符置换实现对称表述：

$ eg(A lor B) equiv eg A land eg B$

对应的集合表达式为：

$(A cup B)^c = A^c cap B^c$

三、工程应用实例

在数字逻辑设计中，该定理可直接优化电路结构。例如与门级联的非运算可转换为非门并联结构，这种转换能减少芯片晶体管数量。美国电气电子工程师学会（IEEE）标准754浮点运算规范中即包含相关应用。

数学基础文献可参考《离散数学及其应用》（Discrete Mathematics and Its Applications）第8章命题逻辑部分，集合论证明过程详见剑桥大学数学系公开课程讲义CM10124。

网络扩展解释

德摩根定理（De Morgan's Laws）是逻辑学和集合论中的重要定律，用于描述逻辑运算中“非（¬）”与“或（∨）”“与（∧）”之间的转换关系，以及集合论中补集、并集和交集的对应关系。其核心思想是否定复合命题时，需同时对内部命题进行否定并转换运算符。

德摩根定理的两个基本形式

逻辑非对“与”的分配
$$¬(A ∧ B) equiv ¬A ∨ ¬B$$
即：“非（A且B）”等价于“非A或非B”。
示例：若“今天不下雨且不刮风”，则其否定是“今天下雨或刮风”（至少满足其一即成立）。
逻辑非对“或”的分配
$$¬(A ∨ B) equiv ¬A ∧ ¬B$$
即：“非（A或B）”等价于“非A且非B”。
示例：若“明天开会或放假”，则其否定是“明天不开会且不放假”（两者同时不成立）。

集合论中的对应关系

在集合论中，德摩根定理表现为补集与并集、交集的转换：

补集对并集的分配
$$overline{A ∪ B} = overline{A} ∩ overline{B}$$
全集中的非（A并B）等于非A交非B。
补集对交集的分配
$$overline{A ∩ B} = overline{A} ∪ overline{B}$$
全集中的非（A交B）等于非A并非B。

应用场景

数字电路设计：用于简化逻辑门电路，例如将与非门（NAND）转换为或非门（NOR）的组合。
编程条件优化：简化复杂条件判断，如将 !(a && b) 改写为 !a || !b。
数学证明：在命题逻辑和集合运算中分解复杂表达式。

注意事项

转换时必须同时否定所有子命题并交换运算符类型（“与”变“或”，“或”变“与”）。
运算顺序需保留原表达式中的括号，避免错误转换。

通过德摩根定理，可以更灵活地处理逻辑表达式，并在工程、数学和计算机科学中提高效率。