初等變換英文解釋翻譯、初等變換的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 elementary transformation

分詞翻譯：

初等的英語翻譯：

elementary; primary

變換的英語翻譯：

alternate; switch; transform; commutation
【計】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

專業解析

初等變換（Elementary Transformation）是線性代數中的基礎概念，指對矩陣或線性方程組進行的三種基本操作，旨在簡化結構而不改變其本質特性（如秩或解集）。以下是其詳細解釋及對應英文術語：

一、初等變換的定義與類型

初等變換包括以下三種操作：

行（列）互換（Row/Column Swap）
交換矩陣的兩行或兩列。

英文術語： Swapping two rows/columns.

示例： 将矩陣第 (i) 行與第 (j) 行互換： ( R_i leftrightarrow R_j )。
行（列）數乘（Row/Column Scaling）
以非零常數 ( k ) 乘以某一行或某一列的所有元素。

英文術語： Multiplying a row/column by a non-zero scalar.

示例： 第 (i) 行乘以 (k)： ( kR_i rightarrow R_i ).
行（列）倍加（Row/Column Addition）
将一行（列）的倍數加到另一行（列）。

英文術語： Adding a multiple of one row/column to another.

示例： 将第 (j) 行的 (k) 倍加到第 (i) 行： ( R_i + kR_j rightarrow R_i ).

二、初等變換的核心作用

不改變矩陣的秩：初等變換是矩陣等價的标準操作，保持秩不變。
求解線性方程組：通過高斯消元法（Gaussian Elimination）将增廣矩陣化為行階梯形（Row Echelon Form）。
計算逆矩陣：若方陣 ( A ) 可逆，則可通過初等行變換将 ( [A mid I] ) 化為 ( [I mid A^{-1}] )。
判定向量組線性相關性：初等列變換可用于分析列向量的線性獨立性。

三、權威定義參考

《線性代數及其應用》（Gilbert Strang）
定義初等行變換為“矩陣簡化的基礎工具”，強調其在求解 ( Ax=b ) 中的核心作用。

來源： Strang, G. Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Chapter 1.
數學百科全書（MathWorld）
明确初等變換的三種類型及其矩陣表示（初等矩陣）。

來源： Weisstein, E. W. "Elementary Row and Column Operations." MathWorld.
普林斯頓大學線性代數講義
指出初等變換是矩陣等價關系的生成操作，并證明其保秩性。

來源： Princeton University, Linear Algebra Notes, Section 2.3.

四、漢英術語對照表

中文術語	英文術語
初等變換	Elementary Transformation
行（列）互換	Row (Column) Swap
行（列）數乘	Row (Column) Scaling
行（列）倍加	Row (Column) Addition
行階梯形	Row Echelon Form
高斯消元法	Gaussian Elimination
初等矩陣	Elementary Matrix

初等變換作為線性代數的基石，廣泛應用于工程、計算機科學及物理學中的數值計算問題，是理解矩陣理論不可或缺的工具。

網絡擴展解釋

初等變換是線性代數中對矩陣進行的基本操作，主要用于簡化矩陣結構、求解方程組或分析矩陣性質。它分為行初等變換和列初等變換兩類，每種類型包含以下三種操作：

1. 行初等變換

交換兩行：例如交換矩陣的第(i)行和第(j)行，記為(R_i leftrightarrow R_j)。
數乘某一行：用非零常數(k)乘以第(i)行，記為(kR_i)。
行線性組合：将第(j)行的(k)倍加到第(i)行，記為(R_i + kR_j)。

2. 列初等變換

類似行變換，但操作對象為列，記法為(C_i leftrightarrow C_j)、(kC_i)、(C_i + kC_j)。

核心性質

不改變矩陣的秩：初等變換是等價變換，矩陣的秩在其前後保持不變。
可逆性：每個初等變換都有對應的逆操作。例如，交換行後再交換一次可還原；數乘(k)後可用數乘(1/k)還原。
對應初等矩陣：每次初等變換等價于左乘（行變換）或右乘（列變換）一個初等矩陣。例如，交換兩行的初等矩陣是通過交換單位矩陣的對應行得到的。

應用場景

解線性方程組：通過行變換将增廣矩陣化為行階梯形或行最簡形，從而求解（高斯消元法）。
求逆矩陣：對分塊矩陣([A|I])施以行變換，當(A)變為單位矩陣時，右側的(I)會變為(A^{-1})。
求矩陣的秩：通過行變換化為階梯形矩陣後，非零行數即為秩。

示例

假設矩陣(A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix})：

交換兩行：(begin{bmatrix} 3 & 41 & 2 end{bmatrix})（對應行列式符號改變）。
第二行乘以2：(begin{bmatrix} 1 & 26 & 8 end{bmatrix})（行列式值變為原來的2倍）。
第一行加到第二行：(begin{bmatrix} 1 & 24 & 6 end{bmatrix})（行列式值不變）。

注意事項

行變換和列變換對矩陣的影響不同，例如求逆時通常隻用行變換。
初等變換是矩陣等價标準形的理論基礎，任何矩陣均可通過初等變換化為對角形式(begin{bmatrix} I_r & 00 & 0 end{bmatrix})（(r)為秩）。

總結來說，初等變換是矩陣操作的基礎工具，貫穿于線性方程組的求解、矩陣求逆、秩的計算等核心問題中。