初等变换英文解释翻译、初等变换的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 elementary transformation

分词翻译：

初等的英语翻译：

elementary; primary

变换的英语翻译：

alternate; switch; transform; commutation
【计】 reforming; transform
【化】 transform; transformation

专业解析

初等变换（Elementary Transformation）是线性代数中的基础概念，指对矩阵或线性方程组进行的三种基本操作，旨在简化结构而不改变其本质特性（如秩或解集）。以下是其详细解释及对应英文术语：

一、初等变换的定义与类型

初等变换包括以下三种操作：

行（列）互换（Row/Column Swap）
交换矩阵的两行或两列。

英文术语： Swapping two rows/columns.

示例： 将矩阵第 (i) 行与第 (j) 行互换： ( R_i leftrightarrow R_j )。
行（列）数乘（Row/Column Scaling）
以非零常数 ( k ) 乘以某一行或某一列的所有元素。

英文术语： Multiplying a row/column by a non-zero scalar.

示例： 第 (i) 行乘以 (k)： ( kR_i rightarrow R_i ).
行（列）倍加（Row/Column Addition）
将一行（列）的倍数加到另一行（列）。

英文术语： Adding a multiple of one row/column to another.

示例： 将第 (j) 行的 (k) 倍加到第 (i) 行： ( R_i + kR_j rightarrow R_i ).

二、初等变换的核心作用

不改变矩阵的秩：初等变换是矩阵等价的标准操作，保持秩不变。
求解线性方程组：通过高斯消元法（Gaussian Elimination）将增广矩阵化为行阶梯形（Row Echelon Form）。
计算逆矩阵：若方阵 ( A ) 可逆，则可通过初等行变换将 ( [A mid I] ) 化为 ( [I mid A^{-1}] )。
判定向量组线性相关性：初等列变换可用于分析列向量的线性独立性。

三、权威定义参考

《线性代数及其应用》（Gilbert Strang）
定义初等行变换为“矩阵简化的基础工具”，强调其在求解 ( Ax=b ) 中的核心作用。

来源： Strang, G. Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Chapter 1.
数学百科全书（MathWorld）
明确初等变换的三种类型及其矩阵表示（初等矩阵）。

来源： Weisstein, E. W. "Elementary Row and Column Operations." MathWorld.
普林斯顿大学线性代数讲义
指出初等变换是矩阵等价关系的生成操作，并证明其保秩性。

来源： Princeton University, Linear Algebra Notes, Section 2.3.

四、汉英术语对照表

中文术语	英文术语
初等变换	Elementary Transformation
行（列）互换	Row (Column) Swap
行（列）数乘	Row (Column) Scaling
行（列）倍加	Row (Column) Addition
行阶梯形	Row Echelon Form
高斯消元法	Gaussian Elimination
初等矩阵	Elementary Matrix

初等变换作为线性代数的基石，广泛应用于工程、计算机科学及物理学中的数值计算问题，是理解矩阵理论不可或缺的工具。

网络扩展解释

初等变换是线性代数中对矩阵进行的基本操作，主要用于简化矩阵结构、求解方程组或分析矩阵性质。它分为行初等变换和列初等变换两类，每种类型包含以下三种操作：

1. 行初等变换

交换两行：例如交换矩阵的第(i)行和第(j)行，记为(R_i leftrightarrow R_j)。
数乘某一行：用非零常数(k)乘以第(i)行，记为(kR_i)。
行线性组合：将第(j)行的(k)倍加到第(i)行，记为(R_i + kR_j)。

2. 列初等变换

类似行变换，但操作对象为列，记法为(C_i leftrightarrow C_j)、(kC_i)、(C_i + kC_j)。

核心性质

不改变矩阵的秩：初等变换是等价变换，矩阵的秩在其前后保持不变。
可逆性：每个初等变换都有对应的逆操作。例如，交换行后再交换一次可还原；数乘(k)后可用数乘(1/k)还原。
对应初等矩阵：每次初等变换等价于左乘（行变换）或右乘（列变换）一个初等矩阵。例如，交换两行的初等矩阵是通过交换单位矩阵的对应行得到的。

应用场景

解线性方程组：通过行变换将增广矩阵化为行阶梯形或行最简形，从而求解（高斯消元法）。
求逆矩阵：对分块矩阵([A|I])施以行变换，当(A)变为单位矩阵时，右侧的(I)会变为(A^{-1})。
求矩阵的秩：通过行变换化为阶梯形矩阵后，非零行数即为秩。

示例

假设矩阵(A = begin{bmatrix} 1 & 23 & 4 end{bmatrix})：

交换两行：(begin{bmatrix} 3 & 41 & 2 end{bmatrix})（对应行列式符号改变）。
第二行乘以2：(begin{bmatrix} 1 & 26 & 8 end{bmatrix})（行列式值变为原来的2倍）。
第一行加到第二行：(begin{bmatrix} 1 & 24 & 6 end{bmatrix})（行列式值不变）。

注意事项

行变换和列变换对矩阵的影响不同，例如求逆时通常只用行变换。
初等变换是矩阵等价标准形的理论基础，任何矩阵均可通过初等变换化为对角形式(begin{bmatrix} I_r & 00 & 0 end{bmatrix})（(r)为秩）。

总结来说，初等变换是矩阵操作的基础工具，贯穿于线性方程组的求解、矩阵求逆、秩的计算等核心问题中。