對角線化英文解釋翻譯、對角線化的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 diabonalization

分詞翻譯：

對角線的英語翻譯：

catercorner; diagonal
【機】 diagonal line

化的英語翻譯：

burn up; change; convert; melt; spend; turn

專業解析

在漢英詞典框架下，"對角線化"（diagonalization）指通過數學變換将矩陣轉換為對角矩陣的過程。這一概念在工程數學和線性代數中具有核心地位，主要包含以下三方面内涵：

代數定義線性代數中，若存在可逆矩陣P使$P^{-1}AP = D$，其中D為對角矩陣，則稱方陣A可對角化。該過程依賴于矩陣特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors）的求解，要求矩陣具有n個線性無關的特征向量。
工程應用在電氣工程領域，對角化技術可簡化多變量控制系統分析。例如在電路理論中，通過對稱矩陣對角化可實現阻抗矩陣解耦，将複雜系統分解為獨立子系統（IEEE Transactions on Power Systems, vol.33）。
幾何解釋幾何上，對角化對應坐标系的旋轉變換。以二次型為例，對角化可将一般二次曲面方程轉換為标準形式，消除交叉項，直觀展現幾何體的主軸方向（《工程數學線性代數》，高等教育出版社）。
驗證條件根據譜定理，實對稱矩陣必可正交對角化。這一特性在機械振動模态分析中具有重要應用，工程師可通過特征頻率分解判斷系統穩定性（ASME Journal of Vibration and Acoustics）。
計算範式數值計算中，QR算法是最常用的對角化方法。在有限元分析軟件（如ANSYS）中，該算法被優化用于大型稀疏矩陣的特征值求解，直接影響結構力學仿真的計算效率（Numerical Recipes in C, Cambridge University Press）。

網絡擴展解釋

對角線化（Diagonalization）是線性代數中的一個重要概念，指将一個方陣通過相似變換轉化為對角矩陣的過程。以下是詳細解釋：

1.基本定義

若存在可逆矩陣 ( P ) 和對角矩陣 ( D )，使得： $$ P^{-1}AP = D quad text{或等價地} quad A = PDP^{-1} $$ 則稱矩陣 ( A )可對角化。對角矩陣 ( D ) 的主對角線元素是 ( A ) 的特征值，( P ) 的列向量是 ( A ) 對應的線性無關的特征向量。

2.對角化的條件

充分必要條件：矩陣 ( A ) 必須有 ( n ) 個線性無關的特征向量（( n ) 為矩陣的階數）。
特征值的重數與幾何重數：若所有特征值的代數重數（重根次數）等于幾何重數（對應特征空間的維度），則 ( A ) 可對角化。
特殊情況：實對稱矩陣、正規矩陣（如正交矩陣、酉矩陣）一定可對角化。

3.對角化的步驟

求特征值：解特征方程 ( det(A - lambda I) = 0 )。
求特征向量：對每個特征值 ( lambda )，解齊次方程組 ( (A - lambda I)mathbf{x} = 0 )。
構造矩陣 ( P ) 和 ( D )：将特征向量作為 ( P ) 的列，特征值按相同順序排列為 ( D ) 的對角元素。

4.應用與意義

簡化計算：對角矩陣的幂、指數等運算更易計算，例如 ( A^k = PD^kP^{-1} )。
解微分方程：在常微分方程組的求解中，對角化可将耦合方程組解耦。
矩陣分析：用于研究矩陣的性質，如正定性、穩定性等。

5.示例

設矩陣 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )：

特征值：解 ( lambda - 4lambda + 3 = 0 )，得 ( lambda_1 = 3 )，( lambda_2 = 1 )。
特征向量：對應 ( lambda_1 = 3 ) 的特征向量為 ( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} )，對應 ( lambda_2 = 1 ) 的為 ( begin{pmatrix} -11 end{pmatrix} )。
對角化：構造 ( P = begin{pmatrix} 1 & -11 & 1 end{pmatrix} )，則 ( D = begin{pmatrix} 3 & 00 & 1 end{pmatrix} )。

6.不可對角化的情況

若矩陣缺少足夠的線性無關特征向量（如存在若爾當塊），則無法對角化，此時需用若爾當标準形表示。

通過以上過程，對角線化将複雜矩陣轉化為更易處理的形式，廣泛應用于物理、工程和計算機科學等領域。