对角线化英文解释翻译、对角线化的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 diabonalization

分词翻译：

对角线的英语翻译：

catercorner; diagonal
【机】 diagonal line

化的英语翻译：

burn up; change; convert; melt; spend; turn

专业解析

在汉英词典框架下，"对角线化"（diagonalization）指通过数学变换将矩阵转换为对角矩阵的过程。这一概念在工程数学和线性代数中具有核心地位，主要包含以下三方面内涵：

代数定义线性代数中，若存在可逆矩阵P使$P^{-1}AP = D$，其中D为对角矩阵，则称方阵A可对角化。该过程依赖于矩阵特征值（eigenvalues）和特征向量（eigenvectors）的求解，要求矩阵具有n个线性无关的特征向量。
工程应用在电气工程领域，对角化技术可简化多变量控制系统分析。例如在电路理论中，通过对称矩阵对角化可实现阻抗矩阵解耦，将复杂系统分解为独立子系统（IEEE Transactions on Power Systems, vol.33）。
几何解释几何上，对角化对应坐标系的旋转变换。以二次型为例，对角化可将一般二次曲面方程转换为标准形式，消除交叉项，直观展现几何体的主轴方向（《工程数学线性代数》，高等教育出版社）。
验证条件根据谱定理，实对称矩阵必可正交对角化。这一特性在机械振动模态分析中具有重要应用，工程师可通过特征频率分解判断系统稳定性（ASME Journal of Vibration and Acoustics）。
计算范式数值计算中，QR算法是最常用的对角化方法。在有限元分析软件（如ANSYS）中，该算法被优化用于大型稀疏矩阵的特征值求解，直接影响结构力学仿真的计算效率（Numerical Recipes in C, Cambridge University Press）。

网络扩展解释

对角线化（Diagonalization）是线性代数中的一个重要概念，指将一个方阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。以下是详细解释：

1.基本定义

若存在可逆矩阵 ( P ) 和对角矩阵 ( D )，使得： $$ P^{-1}AP = D quad text{或等价地} quad A = PDP^{-1} $$ 则称矩阵 ( A )可对角化。对角矩阵 ( D ) 的主对角线元素是 ( A ) 的特征值，( P ) 的列向量是 ( A ) 对应的线性无关的特征向量。

2.对角化的条件

充分必要条件：矩阵 ( A ) 必须有 ( n ) 个线性无关的特征向量（( n ) 为矩阵的阶数）。
特征值的重数与几何重数：若所有特征值的代数重数（重根次数）等于几何重数（对应特征空间的维度），则 ( A ) 可对角化。
特殊情况：实对称矩阵、正规矩阵（如正交矩阵、酉矩阵）一定可对角化。

3.对角化的步骤

求特征值：解特征方程 ( det(A - lambda I) = 0 )。
求特征向量：对每个特征值 ( lambda )，解齐次方程组 ( (A - lambda I)mathbf{x} = 0 )。
构造矩阵 ( P ) 和 ( D )：将特征向量作为 ( P ) 的列，特征值按相同顺序排列为 ( D ) 的对角元素。

4.应用与意义

简化计算：对角矩阵的幂、指数等运算更易计算，例如 ( A^k = PD^kP^{-1} )。
解微分方程：在常微分方程组的求解中，对角化可将耦合方程组解耦。
矩阵分析：用于研究矩阵的性质，如正定性、稳定性等。

5.示例

设矩阵 ( A = begin{pmatrix} 2 & 11 & 2 end{pmatrix} )：

特征值：解 ( lambda - 4lambda + 3 = 0 )，得 ( lambda_1 = 3 )，( lambda_2 = 1 )。
特征向量：对应 ( lambda_1 = 3 ) 的特征向量为 ( begin{pmatrix} 11 end{pmatrix} )，对应 ( lambda_2 = 1 ) 的为 ( begin{pmatrix} -11 end{pmatrix} )。
对角化：构造 ( P = begin{pmatrix} 1 & -11 & 1 end{pmatrix} )，则 ( D = begin{pmatrix} 3 & 00 & 1 end{pmatrix} )。

6.不可对角化的情况

若矩阵缺少足够的线性无关特征向量（如存在若尔当块），则无法对角化，此时需用若尔当标准形表示。

通过以上过程，对角线化将复杂矩阵转化为更易处理的形式，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。