幂等元英文解釋翻譯、幂等元的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 idempotent element

【計】 idempotent

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【經】 dollar; yuan

在數學和計算機科學中，幂等元（英文：idempotent element）指代滿足特定運算條件下重複操作結果不變的元素。該概念廣泛存在于抽象代數、線性代數及計算機協議設計等領域。

若元素 ( e ) 在二元運算 ( cdot ) 下滿足 ( e cdot e = e )，則稱 ( e ) 為該運算的幂等元。例如：

在布爾代數中，邏輯運算符“與”（AND）和“或”（OR）的幂等性表現為 ( a land a = a ) 和 ( a lor a = a )（來源：Springer數學百科全書的環論條目。
線上性代數中，投影算子 ( P ) 滿足 ( P = P )，是矩陣乘法運算的幂等元（來源：Wolfram MathWorld的Idempotent詞條。

幂等性在系統設計中至關重要。例如：

在環論中，幂等元還可用于分解環結構。若環 ( R ) 中存在正交幂等元 ( e_1, e_2 )，即滿足 ( e_1e_2=0 ) 且 ( e_1+e_2=1 )，則可構造直積分解 ( R cong e_1R times e_2R )（來源：《抽象代數基礎》教材。

幂等元是代數學中的一個重要概念，具體解釋如下：

定義在集合( E )中，若某個元素( a )對二元運算( )滿足( a a = a )，則稱( a )為幂等元。這一性質強調元素在自身運算後結果不變。

核心特性

運算封閉性：幂等元的存在與具體運算相關。例如：
- 實數乘法中，僅0和1滿足( 0 times 0 = 0 )、( 1 times 1 = 1 )。
- 集合運算中，任意集合( A )對并集（( A cup A = A )）和交集（( A cap A = A )）均滿足幂等性。
單位元的關聯性：若運算存在單位元（如加法的0、乘法的1），這些單位元通常也是幂等元。

運算的幂等性延伸當集合中所有元素對某運算都滿足幂等性時，該運算被稱為幂等運算。例如布爾代數中的邏輯與（AND）、邏輯或（OR）運算均具有此性質。

應用場景幂等性在計算機科學（如HTTP請求設計）、數據庫事務處理等領域尤為重要，能避免重複操作帶來的副作用。雖然當前搜索結果未直接涉及這些擴展，但數學定義為其提供了理論基礎。