幂等元英文解释翻译、幂等元的近义词、反义词、例句

英语翻译：

【计】 idempotent element

【计】 idempotent

basic; buck; chief; dollar; first; Yuan
【经】 dollar; yuan

在数学和计算机科学中，幂等元（英文：idempotent element）指代满足特定运算条件下重复操作结果不变的元素。该概念广泛存在于抽象代数、线性代数及计算机协议设计等领域。

若元素 ( e ) 在二元运算 ( cdot ) 下满足 ( e cdot e = e )，则称 ( e ) 为该运算的幂等元。例如：

在布尔代数中，逻辑运算符“与”（AND）和“或”（OR）的幂等性表现为 ( a land a = a ) 和 ( a lor a = a )（来源：Springer数学百科全书的环论条目。
在线性代数中，投影算子 ( P ) 满足 ( P = P )，是矩阵乘法运算的幂等元（来源：Wolfram MathWorld的Idempotent词条。

幂等性在系统设计中至关重要。例如：

在环论中，幂等元还可用于分解环结构。若环 ( R ) 中存在正交幂等元 ( e_1, e_2 )，即满足 ( e_1e_2=0 ) 且 ( e_1+e_2=1 )，则可构造直积分解 ( R cong e_1R times e_2R )（来源：《抽象代数基础》教材。

幂等元是代数学中的一个重要概念，具体解释如下：

定义在集合( E )中，若某个元素( a )对二元运算( )满足( a a = a )，则称( a )为幂等元。这一性质强调元素在自身运算后结果不变。

核心特性

运算封闭性：幂等元的存在与具体运算相关。例如：
- 实数乘法中，仅0和1满足( 0 times 0 = 0 )、( 1 times 1 = 1 )。
- 集合运算中，任意集合( A )对并集（( A cup A = A )）和交集（( A cap A = A )）均满足幂等性。
单位元的关联性：若运算存在单位元（如加法的0、乘法的1），这些单位元通常也是幂等元。

运算的幂等性延伸当集合中所有元素对某运算都满足幂等性时，该运算被称为幂等运算。例如布尔代数中的逻辑与（AND）、逻辑或（OR）运算均具有此性质。

应用场景幂等性在计算机科学（如HTTP请求设计）、数据库事务处理等领域尤为重要，能避免重复操作带来的副作用。虽然当前搜索结果未直接涉及这些扩展，但数学定义为其提供了理论基础。