離散時間馬爾可夫過程英文解釋翻譯、離散時間馬爾可夫過程的近義詞、反義詞、例句

英語翻譯：

【計】 discrete-time Markov process

分詞翻譯：

離散時間的英語翻譯：

【計】 discrete time; random time

馬爾可夫過程的英語翻譯：

【計】 markov process

專業解析

離散時間馬爾可夫過程（Discrete-Time Markov Process, DTMP）是一種重要的隨機過程模型，廣泛應用于工程、計算機科學、經濟學和生物學等領域。其核心特征在于系統未來狀态僅依賴于當前狀态，而與曆史狀态無關（馬爾可夫性），且狀态轉移發生在離散的時間點上。

一、術語定義與核心概念

漢英對照定義
- 離散時間 (Discrete Time)：時間變量取離散值（如 ( t = 0, 1, 2, ldots ))，系統狀态僅在特定時間步長發生改變。
- 馬爾可夫性 (Markov Property)：在任意時刻 ( t )，未來狀态 ( X_{t+1} ) 的條件概率分布僅依賴于當前狀态 ( Xt )，與更早狀态無關，即：
  $$ P(X{t+1} = x_{t+1} mid Xt = xt, X{t-1} = x{t-1}, ldots) = P(X{t+1} = x{t+1} mid X_t = x_t) $$
- 狀态空間 (State Space)：系統所有可能狀态的集合 ( mathcal{S} )（有限或可數無限）。
- 轉移概率 (Transition Probability)：從狀态 ( i ) 到狀态 ( j ) 的一步轉移概率定義為：
  $$ P{ij} = P(X{t+1} = j mid X_t = i) $$

二、數學表示與關鍵性質

轉移概率矩陣
若狀态空間有限（( mathcal{S} = {1, 2, ldots, N} )），轉移概率可表示為矩陣 ( mathbf{P} = [P_{ij}] )，滿足：
- 行和歸一：( sum{j=1}^N P{ij} = 1 )（每行概率和為1）
- 查普曼-科爾莫戈洛夫方程：( k )-步轉移概率 ( P{ij}^{(k)} ) 滿足：
  $$ P{ij}^{(k+l)} = sum{m in mathcal{S}} P{im}^{(k)} P_{mj}^{(l)} $$
分類與穩态行為
- 不可約性 (Irreducibility)：從任意狀态可達其他任意狀态。
- 周期性 (Periodicity)：狀态返回自身的步長最大公約數為 ( d )。若 ( d=1 ) 則為非周期鍊。
- 平穩分布 (Stationary Distribution)：若存在概率向量 ( boldsymbol{pi} ) 滿足 ( boldsymbol{pi} mathbf{P} = boldsymbol{pi} )，則稱其為平穩分布。不可約非周期鍊必存在唯一平穩分布。

三、典型應用場景

通信系統：建模信道狀态轉移（如Gilbert-Elliott信道模型）。
算法設計：蒙特卡洛馬爾可夫鍊（MCMC）方法用于概率推理。
金融工程：信用評級遷移分析（如穆迪評級模型）。
生物信息學：DNA序列進化建模（如Jukes-Cantor模型）。

四、權威參考文獻

經典教材
- Ross, S. M. Introduction to Probability Models. Academic Press. （第6章：馬爾可夫鍊）
- Grimmett, G., & Stirzaker, D. Probability and Random Processes. Oxford University Press.
學術資源
- MIT OpenCourseWare: Discrete Stochastic Processes (Course 6.262)
  https://ocw.mit.edu/courses/6-262-discrete-stochastic-processes-spring-2011/
專業手冊
- IEEE Xplore: "Markov Processes in Queueing Theory" (IEEE Transactions on Communications)

注：因未搜索到可驗證的實時網頁鍊接，以上引用僅保留可公開驗證的教材及學術資源鍊接，其餘來源已按原則省略無效引用。

網絡擴展解釋

離散時間馬爾可夫過程（Discrete-Time Markov Process，DTMC）是一種具有“無記憶性”的隨機過程，其核心特征是：未來狀态僅依賴于當前狀态，而與過去的曆史狀态無關。以下是其關鍵點解析：

1. 基本定義

狀态空間：過程可能處于的狀态集合，通常用有限或可數集合表示（如 ( S = {s_1, s_2, dots} )）。
離散時間：狀态變化僅發生在離散的時間點（如 ( t=0,1,2,dots )）。
馬爾可夫性質：對任意時刻 ( t )，下一時刻 ( t+1 ) 的狀态 ( X{t+1} ) 的條件概率滿足： $$ P(X{t+1} = s_j mid X_t = si, X{t-1}, dots, X0) = P(X{t+1} = s_j mid X_t = s_i) $$

2. 數學表示

轉移概率矩陣：描述狀态間轉移的概率。若狀态空間為 ( {1, 2, dots, n} )，矩陣元素 ( P{ij} ) 表示從狀态 ( i ) 轉移到狀态 ( j ) 的概率，滿足每行和為1： $$ P = begin{bmatrix} P{11} & P{12} & cdots P{21} & P_{22} & cdots vdots & vdots & ddots end{bmatrix}, quad sumj P{ij} = 1 $$
初始分布：初始時刻各狀态的概率向量 ( pi^{(0)} = (pi_1^{(0)}, pi_2^{(0)}, dots) )。

3. 重要性質

齊次性：若轉移概率 ( P_{ij} ) 不隨時間變化，則稱為齊次馬爾可夫鍊。
狀态分類：
- 瞬态：概率最終會離開此狀态且不再返回。
- 常返态：概率最終會無限次返回此狀态。
平穩分布：若存在概率向量 ( pi ) 滿足 ( pi P = pi )，則稱 ( pi ) 為平穩分布（長期穩定狀态）。

4. 應用場景

自然語言處理：用于文本生成模型。
排隊論：分析顧客到達和服務時間的隨機性。
金融模型：預測資産價格的離散變動。
生物信息學：基因序列演化的建模。

舉例說明

假設天氣狀态為“晴”或“雨”，轉移矩陣為： $$ P = begin{bmatrix} 0.8 & 0.2
0.3 & 0.7 end{bmatrix} $$

今天晴，則明天晴的概率為80%，下雨概率20%。
今天雨，則明天晴的概率為30%，繼續下雨概率70%。

通過上述定義和性質，離散時間馬爾可夫過程為分析動态系統的隨機演化提供了簡潔而強大的工具。